暑假作业01 幂的有关运算（巩固培优，5大题型巩固+能力培优+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以幂的四种基本运算为核心，通过正向应用、逆用及混合运算构建方法体系，结合科学计数法等实际应用，形成从概念到应用的完整知识逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题|公式正向应用|同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方概念生成| |公式逆用|6题|逆向思维转化|从正向运算到公式变形的推导拓展| |科学计数法|9题|实际情境转化|运算规律在数与量表示中的应用| |混合运算|5题|运算顺序把控|多法则综合应用的逻辑整合| |零指数与负指数|15题|概念辨析与应用|基本运算向特殊指数的延伸|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 幂的有关运算 【知识点1 同底数幂相乘】 底数不变，指数相加 公式：am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 【知识点2 同底数幂相除】 底数不变，指数相减 公式：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 【知识点3幂的乘方】 底数不变，指数相乘 公式：(am)n＝amn(m，n都是正整数) 【知识点4积的乘方】 积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式：(ab)n＝anbn(n为正整数) 【题型1 幂的有关运算】 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式的计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则______． 【题型2 幂的有关公式的逆用】 6．若，，，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 7．比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 8．计算：________． 9．若，求的值． 10．完成以下问题 (1)若，，求的值． (2)如果，求x的值． 11．回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 【题型3科学记数法与计数法的应用】 12．轨道交通已成为合肥市民出行的首选方式，年国庆期间合肥轨道交通日均客运量达到万人次，创历年国庆假期新高．万用科学记数法表示正确的是（     ） A． B． C． D． 13．刘徽在注解《九章算术》时，使用的长度单位为丈、尺、寸、分、厘、毫、丝、忽，其中“忽”是最小的单位，根据现代换算，1忽约等于0.0000093米．数据“0.0000093”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 14．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 15．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 16．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 17．成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（     ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 18．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 19．掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（为大于0的常数），那么震级为6级的地震所释放的能量是震级为2级的地震所释放能量的_____倍． 20．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【题型4 幂的混合运算】 21．__________． 22．计算： (1) (2) 23．计算： (1)； (2)； (3)． 24．计算： (1) (2) 25．（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 【题型5 零指数幂与负整数指数幂】 26．若算式（m，k均为正整数），则m的最小值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 27．使的的值为__________． 28．计算：． 29．计算： (1) (2) 30．计算： (1)； (2)． 31．如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 32．我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 33．先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求的值． 34．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 35．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 36．家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； (2)①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． (3)冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 37．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 38．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 39．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 40．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 试卷第2页，共22页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 幂的有关运算 【知识点1 同底数幂相乘】 底数不变，指数相加 公式：am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 【知识点2 同底数幂相除】 底数不变，指数相减 公式：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 【知识点3幂的乘方】 底数不变，指数相乘 公式：(am)n＝amn(m，n都是正整数) 【知识点4积的乘方】 积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式：(ab)n＝anbn(n为正整数) 【题型1 幂的有关运算】 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可直接计算得到结果． 【详解】解：，因此计算结果为． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘法、合并同类项、单项式除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项 A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则，需根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的法则逐一判断选项正误． 【详解】选项A，合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，故选项A错误； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故选项B错误； 选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故选项C正确； 选项D，积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故选项D错误． 4．下列各式的计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，∴A选项不符合题意． B选项：，∴B选项不符合题意． C选项：，∴C选项不符合题意． D选项：，∴D选项符合题意． 5．若，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加得到关于,的等式，整理即可得到的值. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为 【题型2 幂的有关公式的逆用】 6．若，，，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则，将所求式子变形为已知幂的组合形式，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， 已知，，， 代入得，， ∴． 7．比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】将两个幂变形为同指数幂，通过比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，即． 8．计算：________． 【答案】 【分析】先将原式中变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算． 【详解】解： 9．若，求的值． 【答案】或 【分析】根据幂的乘方将已知转化为，可求出的值，再根据幂的乘方的逆运算将已知转化为，可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 10．完成以下问题 (1)若，，求的值． (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用幂的乘方运算法则化简为，再由同底数幂的乘法和除法逆运算法则计算； （2）先将各幂的底数统一为2，再根据同底数幂的运算法则从左至右进行计算． 【详解】（1）解：∵，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)①17；②72 (2) 【分析】（1）①逆用幂的乘方计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法得到，根据幂的乘方得到，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∵ ∴， 解得． 【题型3科学记数法与计数法的应用】 12．轨道交通已成为合肥市民出行的首选方式，年国庆期间合肥轨道交通日均客运量达到万人次，创历年国庆假期新高．万用科学记数法表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：万． 13．刘徽在注解《九章算术》时，使用的长度单位为丈、尺、寸、分、厘、毫、丝、忽，其中“忽”是最小的单位，根据现代换算，1忽约等于0.0000093米．数据“0.0000093”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，对于绝对值小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵ 左起第一个非零数字为，它前面共有个零，且满足， ∴ ． 14．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将100纳米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的要求整理得到结果，科学记数法形式为，要求满足，n为整数． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴100纳米米， 整理得：米． 15．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 16．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 17．成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（     ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】B 【分析】本题主要考查了单位换算与科学记数法的运用，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．根据题干给出的单位进率推导微和寸的换算关系，再计算得到结果即可． 【详解】解：根据题意，单位进率满足：寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微， 寸微， 微寸， 微寸． 18．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 19．掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（为大于0的常数），那么震级为6级的地震所释放的能量是震级为2级的地震所释放能量的_____倍． 【答案】/ 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的除法的应用；根据能量公式，分别计算震级6和震级2的能量，然后利用同底数幂的除法计算倍数． 【详解】解：由能量公式 ，震级为6级时，； 震级为2级时，． 所以． 故答案为． 20．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 【题型4 幂的混合运算】 21．__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 22．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算幂的乘除法． （2）利用积的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 23．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 25．（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 【答案】（1）按照题目要求制作即可 （2）见解析 （3）圆柱形的容积大 【分析】本题主要考查代数式和整式的乘除运算： （1）按照题目要求制作即可； （2）将两个容器加满水，用量筒分别测量加入水的体积，加入水体积大的，容器的容积就大； （3）设圆柱形和长方体形的高为，底面圆的半径，底面正方形的边长，再进行计算比较即可． 【详解】（1）按照题目要求制作即可； （2）将两个容器加满水，用量筒分别测量加入水的体积，加入水体积大的，容器的容积就大． 通过测量可知正方体形的容积大． （3）设圆柱形和长方体形的高为． 底面圆的半径，底面圆的面积，圆柱形的容积． 底面正方形的边长，底面正方形的面积，长方体形的容积． 因为，所以圆柱形的容积大． 【题型5 零指数幂与负整数指数幂】 26．若算式（m，k均为正整数），则m的最小值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】解：，且m，k均为正整数， 当时，，是正整数． 因m为正整数， 的最小值为1． 27．使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 28．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 29．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． 31．如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 【答案】(1)4， (2)20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 【答案】(1)； (2)； (3) ； ； 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则可得，，进一步即可求解； （3）根据新定义运算法则可得，进一步即可求解． 【详解】（1）解： ；． （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵a、p为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，． 33．先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ； 当时，； （2）解：， 当时，． 34．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义比较即可． （2）先把与化成同指数，不同底数的两个幂比较即可． （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． （2）解：，，因，故． （3）解：，故． 35．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 【答案】(1)相当于只中华蜜蜂的质量和 (2)甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜 【分析】（1）先换算单位，再用一个鸡蛋的质量除以一只中华蜜蜂的质量即可； （2）设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜，根据“甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， （只）， ∴相当于只中华蜜蜂的质量和； （2）解：设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜， 依题意，得， 解得， ． 答：甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜． 36．家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； (2)①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． (3)冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 【答案】(1)(2)①②(3) 【分析】本题所有小题均利用题干给出的热量计算公式求解． （1）代入已知量直接计算放出热量； （2）①求出温度降低量，代入公式，解方程即可；②设出温度降低量为未知数，代入公式解方程即可； （3）设质量为未知数，根据热量差列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，温度降低量， 代入公式， 得： ． （2）解：① 由题意得，温度降低量， 代入公式得， 解得． ② 设温度降低量为， 代入公式得： ， 解得． （3）解：设冷冻的鸡肉和鱼肉的质量为， 由题意得： ， 代入，，， 得： ， 整理得， 解得． 答： 冷冻的鸡肉的质量为． 37．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 38．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 【答案】(1)①4；②4；③0；④ (2)见详解 【分析】（1）根据题意及零次幂，负指数幂可进行求解； （2）根据题意易得，，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①∵，∴； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵，∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 39．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 40．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为新定义运算题，依据规定等价于， （1）根据定义直接找到满足等式的指数即可得到结果； （2）仿照题干给出的证明思路，设两个运算的结果，利用同底数幂乘法法则推导得到结果； （3）设出两个运算的值，利用同底数幂除法法则推导验证猜想，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：设， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：猜想， 理由如下：设， ∴， ∴ ∴ ∴． 试卷第2页，共22页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $