1.3乘法公式（第4课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学教学设计聚焦完全平方公式的灵活变形、逆向运用及与平方差公式的综合应用。通过复习公式结构特征与基础练习，以复杂算式变形及代数式求值问题导入新课，构建“旧知回顾—问题驱动—新知探究”的学习支架。 特色在于以问题驱动法为主线，结合讲练结合与小组探究，通过复杂算式变形（如(-2x-3y)²、(a+b+c)²）、逆向运用（已知a+b和ab求a²+b²）及综合运算实例，渗透转化与整体代入思想。分层练习与易错辨析助力学生提升运算能力和推理意识，为教师提供结构化教学思路，高效落实核心素养。

1.3乘法公式（第4课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》七年级下册第一章《整式的乘除》第3节“乘法公式”第4课时。主要内容：完全平方公式和平方差公式的综合应用 （二）教学内容解析 本节课是完全平方公式的第二课时，是上一课时公式推导与基础应用的延伸与深化。在上一课时，学生已掌握完全平方和与差公式的推导过程及简单直接应用，本节课聚焦公式的灵活变形、逆向运用及综合拓展，是对完全平方公式知识体系的完善。完全平方公式作为整式乘法的核心公式之一，其深化应用能力直接影响后续因式分解、二次函数、一元二次方程及代数式求值等知识的学习。本节课通过强化公式在复杂算式变形、综合运算、代数式求值等场景下的应用，进一步渗透“转化”“整体代入”等数学思想，对提升学生代数运算能力、构建完整的整式运算体系具有重要意义。 本节课的核心内容是完全平方公式的深化应用，具体包括：1. 完全平方公式的灵活变形（含符号变形、系数变形、多项式项的变形）；2. 完全平方公式的逆向运用（由a²+2ab+b²或a²-2ab+b²转化为(a+b)²或(a-b)²）；3. 完全平方公式与平方差公式的综合应用；4. 利用完全平方公式解决代数式求值问题（整体代入思想的应用）。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】完全平方公式的灵活变形与逆向运用；完全平方公式与平方差公式的综合应用。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）能准确对复杂形式的算式进行变形，转化为完全平方公式的标准形式并应用公式计算。 （2）能熟练运用完全平方公式进行逆向计算，掌握公式逆向运用的条件与方法。 （3）能熟练进行完全平方公式与平方差公式的综合运算，提升综合运算能力。 （4）能运用完全平方公式结合整体代入思想解决简单的代数式求值问题。 （5）经历“复杂算式辨析→变形转化→公式应用→总结归纳”的探究过程，进一步体会“转化”“整体代入”的数学思想，提升算式变形能力和知识迁移能力。 （二）教学目标解析 （1）学生能准确处理诸如(-2x-3y)²、(a+b+c)²等复杂算式的变形；能逆用公式解决a²+2ab+b²的因式分解及已知a+b、ab求a²+b²等问题；能规范完成公式综合运算题，正确率不低于80%；能运用整体代入思想解决代数式求值问题，理解整体代入的本质。 （2）学生能主动参与复杂算式的辨析与变形，自主总结不同类型算式的变形方法；能清晰梳理解题思路，准确区分正向、逆向应用的场景，灵活选择解题策略；能主动运用整体代入思想解决求值问题，提升数学思维的灵活性。 （3）学生能在合作学习中主动分享解题思路，倾听他人意见，优化自身解题方法；在解题过程中养成认真审题、仔细变形、规范书写的习惯，激发主动探究的学习热情。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 学生在上一课时已掌握完全平方和与差公式的推导过程及简单正向应用，能准确应用公式解决诸如(x+3)²、(2a-5b)²等标准形式的算式；掌握平方差公式的推导与应用方法；熟练掌握多项式乘法法则、合并同类项等基础运算；具备一定的算式变形能力和自主探究、小组合作学习经验。 （二）认知发展特点 七年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段，对抽象算式的变形及公式的逆向应用仍存在较大困难。他们容易在复杂算式中混淆“a”和“b”的识别，难以准确进行符号变形或项的分组变形；对公式逆向应用的意识薄弱，难以主动将a²+2ab+b²转化为(a+b)²；在综合运算中，容易混淆完全平方公式与平方差公式的应用场景，忽略运算顺序；对整体代入思想的理解和应用较为困难，难以将代数式转化为完全平方公式的形式进行求值。 （三）潜在学习困难 1. 无法准确识别含负数、多项式的复杂算式中的“a”和“b”，难以完成向标准形式的变形。 2. 缺乏公式逆向应用的主动意识，难以灵活运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决问题。 3. 在综合运算中，容易混淆完全平方公式与平方差公式，或忽略运算顺序。 4. 难以理解整体代入思想的本质，无法将代数式求值问题转化为完全平方公式的应用模型。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解完全平方公式的本质是多项式乘法的特殊形式；准确识别公式中的“a”和“b”（包括符号、单项式等不同形式）；避免在应用中混淆“和平方”与“差平方”的符号差异，或遗漏“积的2倍”这一项。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“问题驱动法”为主，结合“讲练结合法”“对比辨析法”“小组探究法”。通过设计梯度化问题链，引导学生逐步探究复杂算式的变形、公式的逆向应用、综合运算及代数式求值；利用讲练结合法，在讲解典型例题后及时安排针对性练习，强化知识巩固；通过对比辨析不同类型的算式变形及公式应用场景，帮助学生厘清解题思路；组织小组探究活动，鼓励学生合作解决综合问题，提升团队协作与创新思维能力。 （二）学习方法指导 引导学生采用“自主探究法”“合作学习法”“归纳总结法”“错题反思法”。鼓励学生主动参与复杂算式的辨析与变形，自主探究解题思路；在小组合作中交流变形技巧与解题经验，相互启发；通过归纳总结不同题型的解题方法，构建解题思维模式；通过分析错题，总结易错点（如变形错误、公式误用、整体代入不当），提升解题准确性。 （三）教学手段 借助多媒体课件和实物投影辅助教学。利用课件展示复杂算式的变形过程、典型例题的解题步骤、不同题型的归纳总结及分层练习题，直观呈现教学内容，帮助学生理解抽象的变形逻辑和整体代入思想；通过实物投影展示学生的解题过程，尤其是典型错题和优秀解题思路，引导集体点评纠错与经验分享，增强课堂互动性，提高教学效率。 五、教学过程分析 （一）复习回顾，衔接旧知 1. 复习回顾：提问学生两个完全平方公式的表达式及结构特征，强调“左边是和或差的平方，右边是平方和±两倍积”的核心要点；回顾平方差公式的结构特征，对比两者的区别。 2. 基础练习：出示标准形式算式，让学生快速口答计算结果：① (x-5)²；② (3a+2b)²；③ (-m+4n)²；④ (2x+1)(2x-1)。 3. 导入新课：提出问题“如果算式不是标准的完全平方形式，比如(-2x-3y)²、(a+b+c)²，还能应用完全平方公式吗？已知x+y=6，xy=8，如何求x²+y²的值？”引出本节课主题——完全平方公式的灵活应用。 设计意图：通过复习回顾巩固上一课时核心知识及平方差公式，基础练习快速唤醒学生对公式的记忆；通过提出复杂算式变形和代数式求值问题，引发学生思考，自然衔接新课内容，激发学习兴趣。 （二）探究新知，深化应用 探究一：复杂算式的变形与应用（含符号、多项式项的变形） ① 出示例题1：计算(-2x-3y)²。引导学生观察算式特征：可变形为[-(2x+3y)]²，利用符号性质得(2x+3y)²，此时a=2x，b=3y，套用完全平方和公式得：(2x)² + 2·2x·3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²；也可直接识别为(a-b)²的形式，其中a=-2x，b=3y，套用公式得：(-2x)² - 2·(-2x)·3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²，对比两种方法，强调符号变形的灵活性。 ② 出示例题2：计算(a+b+c)²。引导学生分组变形：将(a+b)看作一个整体，即[(a+b)+c]²，此时a=(a+b)，b=c，套用完全平方和公式得：(a+b)² + 2·(a+b)·c + c²，再展开(a+b)²得：a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²，强调“整体思想”在项的变形中的应用。 ③ 小组讨论：总结复杂算式变形的关键是什么？引导学生得出“找准‘a’和‘b’，可通过符号变形、整体分组等方式将算式转化为(a±b)²的标准形式”的结论。 探究二：完全平方公式的逆向应用 ① 提出问题：已知完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²，那么反过来，a²±2ab+b²可以写成什么形式？引导学生得出逆用公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 ② 出示例题3：判断下列代数式能否用完全平方公式逆向分解，若能，写出分解结果：① x²+6x+9；② a²-8a+16；③ x²+2x-1。引导学生对比完全平方公式的结构特征，判断是否符合“平方和±两倍积”的形式，得出：① x²+6x+9=(x+3)²；② a²-8a+16=(a-4)²；③ 不能（常数项符号为负，不符合结构）。 ③ 出示例题4：已知x+y=6，xy=8，求x²+y²的值。引导学生将x²+y²变形为x²+2xy+y²-2xy=(x+y)²-2xy，再代入已知条件计算：6² - 2×8=36-16=20，强调逆向应用与整体代入思想的结合。 探究三：完全平方公式与平方差公式的综合应用 ① 出示例题5：计算(x+2)²(x-2)²。引导学生观察算式特征，可先利用积的乘方性质变形为[(x+2)(x-2)]²，先应用平方差公式计算括号内的部分：(x²-4)²，再应用完全平方差公式展开：x⁴-8x²+16；也可分别展开两个完全平方公式，再进行乘法运算，对比两种方法，强调运算顺序优化的重要性。 ② 出示例题6：计算(2x+1)(2x-1) - (x-2)²。引导学生明确运算顺序：先算乘法，再算减法。第一步应用平方差公式计算(2x+1)(2x-1)=4x²-1；第二步应用完全平方差公式展开(x-2)²=x²-4x+4；第三步进行减法运算：4x²-1 - (x²-4x+4)=3x²+4x-5，强调去括号时的符号变化。 设计意图：通过梯度化的探究活动，从复杂算式变形到公式逆用，再到公式综合应用，逐步深化学生对完全平方公式的理解；小组讨论培养学生的合作探究能力，自主总结解题规律，形成解题思维模式；整体代入思想的渗透提升学生数学思维的灵活性。 （三）例题讲解，规范解题 综合例题讲解：出示综合运算与求值例题，规范解题步骤： 例题7：已知a-b=3，ab=2，求：① a²+b²；② (a+b)²的值。 讲解过程：① 由a²+b²=(a-b)²+2ab，代入得3²+2×2=9+4=13；② 由(a+b)²=a²+2ab+b²=(a-b)²+4ab，代入得3²+4×2=9+8=17，强调逆向应用公式的变形技巧。 例题8：计算(3x-2y+1)(3x+2y-1)。 引导学生分组变形为[3x-(2y-1)][3x+(2y-1)]，先应用平方差公式得(3x)²-(2y-1)²，再应用完全平方差公式展开(2y-1)²=4y²-4y+1，最终结果为9x²-4y²+4y-1，强调分组变形的准确性。 易错辨析：出示典型错题，引导学生判断对错并说明理由： 1 (a+b+c)²=a²+b²+c²（错误，遗漏两两积的2倍项）； 2 已知x+y=5，求x²+y²的值时，直接得25（错误，未考虑xy的影响，忽略变形步骤） ③ (x-2)²-(x+1)²=x²-4x+4 - x²+2x+1=-2x+5（错误，去括号时符号处理错误）。 设计意图：通过综合例题讲解，规范综合运算与求值的解题步骤，强化逆向应用与整体代入思想的应用；通过易错辨析，提前规避常见错误，深化对公式应用条件和变形要点的理解。 练习： 1.基础练习（复杂变形与逆用）： ① (-3x+4y)²；② (m-n-p)²；③ 已知x²+4x+4，逆向分解因式；④ 已知m+n=7，mn=10，求m²+n²的值（学生独立完成，集体订正，重点检查变形过程和公式应用） 2.提高练习（综合运算与求值）： ① (x+3)²(x-3)²； ② (2a-b)² - (a+2b)(a-2b)； ③ 已知a²+b²=13，ab=6，求(a-b)²的值（小组交流解题思路，学生板演，教师点评） 3.拓展练习（创新应用）： ① 若(x+y)²=25，(x-y)²=9，求xy的值； ② 计算100²-200×99+99²（引导学生识别为完全平方差公式：(100-99)²=1） 设计意图：分层练习兼顾不同层次学生，基础题巩固复杂变形与逆用核心知识；提高题强化综合运算与逆向求值能力；拓展题通过创新题型，激发学生的解题兴趣，深化对公式本质的理解，培养创新思维。 （四）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （五）布置作业、巩固提高 1. 基础作业：教材第24页习题1.7第3、4题（巩固复杂变形、逆用及综合运算） 2. 提高作业：① 计算(3x+2y)² - 2(3x+2y)(3x-2y) + (3x-2y)²；② 已知a-b=5，a²+b²=29，求ab的值；③ 若(x+a)²=x²+8x+b，求a、b的值（强化综合运算与逆向应用的综合运用） 3. 拓展作业：探究完全平方公式在证明非负数问题中的应用，如证明a²-2a+2恒为正数；尝试推导(a+b+c+d)²的展开式（培养探究精神和逻辑推理能力） 设计意图：分层作业满足不同学生的学习需求，基础题夯实核心知识，提高题深化综合应用能力，拓展题激发探究兴趣，延伸课堂学习，培养学生的创新思维和逻辑推理能力。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $