1.3.2平方差公式的应用-课件-- 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件 1.3.2平方差公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 2026年4月19日 北师大版数学七年级下册1.3.2平方差公式的应用练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 一、基础应用题（每题5分，共30分） 1. 运用平方差公式解决基础计算应用（重点巩固：找准公式中a、b，灵活运用公式简化计算，避免直接展开） （1）$$102 \times 98$$（提示：转化为$$(100+2)(100-2)$$） （2）$$51 \times 49$$ （3）$$(x+1)(x-1)(x^2 + 1)$$ （4）$$(2x+3)(2x-3) + 5x$$ （5）$$(-3x+2)(-3x-2)$$ （6）$$99^2 - 1^2$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 利用平方差公式计算：$$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 =$$ ________； 2. 若$$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$$，则当x=3时，代数式的值为________； 3. 填空：$$(a+2b)(a-2b) + 4b^2 =$$ ________； 4. 利用平方差公式简化计算：$$(m+3)(m-3) - (m-2)(m+2) =$$ ________； 5. 若$$a^2 - b^2 = 12$$，且$$a - b = 3$$，则$$a + b =$$ ________（逆用公式解决求值问题）。 三、判断改错题（每题5分，共15分） 判断下列应用平方差公式的计算是否正确，错误的请改正（重点规避公式误用、转化错误，掌握应用技巧）。 1. $$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1 = 399$$ （ ） 改正：________ 2. $$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 4$$ （ ） 改正：________ 3. $$(2x+1)(2x-1) = 2x^2 - 1$$ （ ） 改正：________ 四、提升应用题（每题7分，共21分） 1. 化简并求值（平方差公式与代数式求值结合，强化公式应用灵活性） （1）$$(x+4)(x-4) - x(x-2)$$，其中$$x = -3$$ （2）$$(3a-2)(3a+2) - (a-1)(a+1)$$，其中$$a = 1$$ 2. 综合应用（重点突破公式逆用、连续应用，解决复杂计算问题） （1）$$(x-1)(x+1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$$ （2）$$(2x+3)(2x-3) - (x-2)(x+2) + 3x^2$$ 五、拓展应用题（14分） 1. 一个长方形的长为$$(2x+5)$$cm，宽为$$(2x-5)$$cm，求这个长方形的面积（用平方差公式计算），并求当x=4时，长方形的面积是多少？ 2. 已知两个连续奇数的平方差为32，求这两个连续奇数（提示：设较小的奇数为$$2n-1$$，较大的奇数为$$2n+1$$，利用平方差公式求解）。 六、易错点专项练习（附加10分） 运用平方差公式解决下列问题，注意公式转化、符号调整和结果化简，避免应用错误： 1. $$202 \times 198$$ 2. $$(-x-1)(x-1) + (x+2)(x-2)$$ 3. $$(a-2b)(a+2b) - (2a-b)(2a+b)$$ 参考答案 一、基础应用题 （1）$$100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$$ （2）$$(50+1)(50-1) = 2500 - 1 = 2499$$ （3）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1$$ （4）$$4x^2 - 9 + 5x$$ （5）$$9x^2 - 4$$ （6）$$(99-1)(99+1) = 98 \times 100 = 9800$$ 二、基础填空题 1. 9991 2. 5 3. $$a^2$$ 4. 5 5. 4 三、判断改错题 1. 错误，改正：$$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$$（结果正确，步骤遗漏$$1^2$$，补充完整即可） 2. 错误，改正：$$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 14$$ 3. 错误，改正：$$(2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$$ 四、提升应用题 1. （1）化简：$$x^2 - 16 - x^2 + 2x = 2x - 16$$，代入x=-3，得$$2 \times (-3) - 16 = -22$$ （2）化简：$$9a^2 - 4 - (a^2 - 1) = 8a^2 - 3$$，代入a=1，得$$8 \times 1 - 3 = 5$$ 2. （1）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1$$ （2）$$4x^2 - 9 - (x^2 - 4) + 3x^2 = 6x^2 - 5$$ 五、拓展应用题 1. 面积$$S = (2x+5)(2x-5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$$（$$cm^2$$）；当x=4时，$$S = 4 \times 4^2 - 25 = 64 - 25 = 39$$（$$cm^2$$），答：长方形面积是$$4x^2 - 25$$$$cm^2$$，x=4时面积是39 $$cm^2$$。 2. 设较小奇数为$$2n-1$$，较大奇数为$$2n+1$$，由题意得：$$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 32$$，逆用平方差公式得：$$[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] = 32$$，化简得$$4n \times 2 = 32$$，解得$$n = 4$$，则这两个奇数为$$2 \times 4 - 1 = 7$$和$$2 \times 4 + 1 = 9$$，答：这两个连续奇数分别是7和9。 六、易错点专项练习 1. $$(200+2)(200-2) = 200^2 - 2^2 = 40000 - 4 = 39996$$ 2. $$(1 - x^2) + (x^2 - 4) = -3$$ 3. $$(a^2 - 4b^2) - (4a^2 - b^2) = -3a^2 - 3b^2$$ 说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.2平方差公式的应用核心知识点设计，重点突出公式在简化计算、代数式求值、实际问题、连续应用和逆用中的应用，涵盖基础应用、综合应用和拓展应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握平方差公式的应用技巧，规避公式误用、转化错误、符号错误、结果化简不彻底等常见易错点。 2026年4月19日星期日6时24分29秒 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算；(重点) 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法.(难点) 学习目标 1.问：平方差公式是怎样的？ (a + b)(a − b) = a2 − b2. 2.利用平方差公式计算： (1) (2x + 7b)(2x – 7b)； (2) (－m + 3n)(m + 3n). 4x2－49b2 9n2－m2 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 （1）请表示图中阴影部 分的面积。 a b a2 – b2 新课探究 4 （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗? (a + b) (a – b) a-b a b b 5 （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ? a b a b 阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b) （4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法? a b 把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。 阴影部分的面积：(a + b)(a – b) a+b a-b （1）计算下列各组算式： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么? (a – 1)(a + 1) = a2 – 1。 观察·思考 （3）请用字母表示这一规律。 符合平方差公式。 例 3 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 。 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； = a2(a2 – b2) + a2b2； = a4 – a2b2 + a2b2； = a4； 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25。 返回 A 1．计算a2－(a＋1)(a－1)的结果是(　　) A．1 B．－1 C．2a2＋1 D．2a2－1 中考考法 12 2. 我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是(　　) A．a(a＋9)＝a2＋9a B．(a＋3)(a－3)＝a2－9 C．(a＋3)(a－6)＝a2－3a－18 D．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B 返回 中考考法 13 返回 C 中考考法 14 4．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　　) A．13 B．3 C．－3 D．5 A 返回 中考考法 15 5. 小王叔叔改建一个边长为a m的正方形养鸡场，计划纵向扩大2 m，横向缩短2 m，则改建后养鸡场面积的变化情况是(　　) A．面积减少4 m2 B．面积增加4 m2 C．面积增加2 m2 D．面积不变 中考考法 16 返回 【点拨】由题意，得改建后养鸡场的长为(a＋2) m，宽为(a－2) m，所以改建后养鸡场的面积为(a＋2)(a－2)＝(a2－4) m2.因为a2－(a2－4)＝4(m2)，所以改建后养鸡场面积减少4 m2. 【答案】A 中考考法 返回 6. 利用平方差公式计算： (1)100.5×99.5；     (2)2 024×2 026－2 0252. 【解】原式＝(100＋0.5)×(100－0.5)＝1002－0.52＝10 000－0.25＝9 999.75. 原式＝(2 025－1)(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1. 中考考法 18 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 3．用简便方法计算99×(100)，变形正确的是(　　) A．(99＋)×(100＋) B．(100－)×(100＋) C．(100－)×(100＋) D．(100－)×(101－) $