1.3乘法公式（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学教学设计聚焦平方差公式的推导与应用，课堂导入先复习多项式乘法法则，再通过“大正方形剪小正方形求面积”的几何情境，引导学生从具体计算过渡到公式猜想，搭建“一般多项式乘法到特殊公式”的学习支架。 该资料以“特殊实例→规律猜想→验证推导→归纳应用”为主线，通过分层练习（如102×98变形计算、逆用公式求a-b）培养学生抽象能力与推理意识，结合几何直观与对比辨析深化公式理解，既提升学生运算效率与探究能力，也为教师提供清晰教学路径与分层资源。

1.3乘法公式（第1课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》七年级下册第一章《整式的乘除》第三节“乘法公式”第1课时。主要内容：平方差公式的推导过程。 （二）教学内容解析 在此之前，学生已熟练掌握多项式乘以多项式的法则，这为平方差公式的推导提供了直接的知识基础。平方差公式不仅是对多项式乘法运算的简化，更是后续学习完全平方公式、因式分解、二次根式运算及一元二次方程等知识的重要工具。它将特殊形式的多项式乘法转化为简洁的公式运算，体现了“从一般到特殊”的数学思想，对学生提升运算效率、构建代数运算体系、培养抽象概括能力具有重要意义。 本节课的核心内容是平方差公式的推导、理解与初步应用。具体包括：通过特殊形式的多项式乘法实例，归纳得出平方差公式；理解公式的结构特征（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差）及字母的广泛含义；掌握平方差公式的直接应用，能准确判断算式是否符合公式结构，规范运用公式进行计算。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】平方差公式的推导过程及公式的正确应用。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）能准确推导平方差公式，明确公式的表达式（(a+b)(a-b)=a²-b²）及推导依据（多项式乘以多项式法则）。 （2）能清晰阐述平方差公式的结构特征，准确识别公式中的“a”和“b”。 （3） 能熟练运用平方差公式解决简单的计算问题，提升运算效率与准确性。 （4）经历“特殊实例计算→规律猜想→验证推导→归纳公式→应用拓展”的探究过程，体会“从一般到特殊”“从具体到抽象”的数学思想，提升抽象概括能力和知识迁移能力。 （二）教学目标解析 （1）学生能通过自主计算特殊多项式乘法实例归纳出公式，理解“和乘差得平方差”的核心；能准确判断诸如(x+2)(x-2)、(2a+3b)(2a-3b)等算式是否符合公式结构；基础计算正确率不低于85%，能规范书写公式应用的步骤。 （2）学生能主动参与实例计算与规律探究，自主完成公式的推导与归纳；能通过对比不同形式的算式，准确提炼公式的结构特征，形成“先判断结构，再应用公式”的运算思维。 （3）学生能在自主探究和合作学习中体会数学的简洁美，激发学习兴趣；在公式应用中养成认真审题、仔细辨析、规范书写的习惯，在小组讨论中能主动分享思路、倾听他人意见，提升合作交流能力。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 七年级学生已熟练掌握多项式乘以多项式的法则，能规范完成诸如(x+a)(x+b)的多项式乘法计算；理解单项式、多项式的概念，能准确识别多项式的各项及符号；具备一定的自主探究、观察分析和小组合作学习经验，能够在教师引导下完成对具体实例的规律归纳。 （二）认知发展特点 七年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段，对抽象数学公式的理解和应用仍存在一定困难。他们容易对平方差公式的结构特征理解不透彻，难以准确识别不同形式算式中的“a”和“b”（如当“b”为负数或多项式时）；容易混淆平方差公式与后续的完全平方公式；在应用公式时，可能出现诸如(a+b)(a-b)=a²+b²的符号错误，或忽略公式的适用条件，将非“和乘差”形式的算式强行套用公式。 （三）潜在学习困难 1. 无法从特殊多项式乘法实例中准确提炼出平方差公式的结构规律，难以理解公式的推导逻辑。 2. 不能准确识别公式中的“a”和“b”，尤其是当“a”或“b”为负数、单项式的系数不为1或多项式时。 3. 应用公式时出现符号错误，如混淆“-b²”的符号。 4. 对公式的逆用缺乏主动意识，难以灵活运用公式简化计算。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解平方差公式的本质是多项式乘法的特殊形式；准确识别公式中的“a”和“b”（包括符号、单项式、多项式等不同形式）；避免在应用中混淆公式结构或忽略符号问题。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“探究式教学法”为主，结合“讲授法”“对比辨析法”“分层练习法”。通过创设问题情境引导学生自主探究，借助特殊多项式乘法实例的计算与分析，归纳得出平方差公式；利用讲授法清晰讲解公式的结构特征、推导依据及应用要点，强调易错点；通过对比辨析法帮助学生厘清公式的适用条件，准确识别“a”和“b”；设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求，巩固公式应用。 （二）学习方法指导 引导学生采用“自主探究法”“合作学习法”“对比归纳法”“错题反思法”。鼓励学生主动参与实例计算、规律猜想和公式推导；在小组合作中交流探究思路、相互启发，解决公式识别和符号处理等问题；通过对比不同形式的算式，归纳公式的结构特征；通过分析错题，总结易错点（如符号错误、公式误用），提升运算准确性。 （三）教学手段 借助多媒体课件和实物投影辅助教学。利用课件展示特殊多项式乘法实例、公式推导过程、公式结构特征分析、典型错题及分层练习题，直观呈现教学内容，帮助学生理解抽象的公式本质；通过实物投影展示学生的解题过程，尤其是典型错题，引导集体点评纠错，增强课堂互动性，强化规范运算意识，提高教学效率。 五、教学过程分析 （一）复习导入，情境激趣 1. 复习回顾：提问学生多项式乘以多项式的法则，出示练习题让学生独立完成后口答：① (x+2)(x+3)；② (a+b)(c+d)。强调法则的核心是“逐项相乘，再把积相加”，为公式推导铺垫基础。 2. 情境导入：提出问题“一个边长为a的大正方形，在一个角上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），剩下的图形面积是多少？你能有几种表示方法？”引导学生列出两种算式：a² - b²（大正方形面积减小正方形面积）和(a+b)(a-b)（将剩下的图形补成或分割成长方形，计算长方形面积），提问：“这两个算式都表示剩下图形的面积，它们之间是什么关系？(a+b)(a-b)的结果是否等于a² - b²？”引出课题——平方差公式。 设计意图：通过复习多项式乘法法则，为公式推导提供知识基础；借助几何图形面积计算的实际情境，让学生直观感受平方差公式的合理性，激发学习兴趣，自然引出课题。 （二）自主探究，推导公式 1. 探究具体实例：让学生自主计算以下特殊形式的多项式乘法，观察运算结果，小组讨论发现的规律： ① (x+1)(x-1)；② (m+2)(m-2)；③ (2a+3)(2a-3) 引导学生分步计算： 1 (x+1)(x-1) = x·x - x·1 + 1·x - 1·1 = x² - x + x - 1 = x² - 1； ② (m+2)(m-2) = m·m - m·2 + 2·m - 2·2 = m² - 2m + 2m - 4 = m² - 4； ③ (2a+3)(2a-3) = 2a·2a - 2a·3 + 3·2a - 3·3 = 4a² - 6a + 6a - 9 = 4a² - 9。 2. 猜想归纳规律：引导学生观察上述实例的算式和结果，小组讨论：“这些算式有什么共同结构特征？结果与算式中的项有什么关系？” 请小组代表发言，教师补充总结：算式都是“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式；结果都是“这两个数的平方差”。 3. 验证推导一般公式：引导学生用字母表示规律。设这两个数分别为a和b，则： (a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a² - ab + ab - b² = a² - b²（依据：多项式乘以多项式法则，合并同类项后中间两项抵消） 得出正式公式：(a+b)(a-b) = a² - b²，强调公式的语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。同时分析公式的结构特征：① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b和-b）；② 右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方。 4. 公式辨析：出示非公式结构的算式，如(x+1)(x+2)、(a+b)(c-b)，让学生判断是否能套用平方差公式，强化对公式结构特征的理解。 设计意图：从具体实例出发，让学生直观感受公式的推导过程，理解公式的数学依据；小组讨论培养合作能力，从特殊到一般的推导体会“从一般到特殊”的数学思想；公式辨析强化对结构特征的理解，突破公式识别的难点。 （三）例题讲解，规范运算 1. 基础例题讲解：出示典型基础例题，规范书写公式应用步骤，强调“先识别a和b，再套用公式”： 例题1：计算 ① (x+3)(x-3)；② (2m+5n)(2m-5n)；③ (-a+b)(-a-b) 讲解过程： ① (x+3)(x-3)：其中a=x（相同项），b=3（互为相反数项），套用公式得：x² - 3² = x² - 9； ② (2m+5n)(2m-5n)：其中a=2m，b=5n，套用公式得：(2m)² - (5n)² = 4m² - 25n²（强调a和b为单项式时，平方要乘到每一个因式）； ③ (-a+b)(-a-b)：可变形为[(-a)+b][(-a)-b]，其中a=-a，b=b，套用公式得：(-a)² - b² = a² - b²（强调符号处理，相同项为“-a”）。 2. 易错例题辨析：出示典型易错例题，引导学生判断对错并说明理由，强化易错点： 易错例题：① (x+2)(x-2) = x² - 2（错误，b的平方计算错误）；② (2a-3b)(2a+3b) = 4a² - 3b²（错误，b的平方漏乘系数）；③ (a+b)(a-b) = a² + b²（错误，符号错误）。 3. 进阶例题讲解：出示稍复杂的例题，引导学生灵活识别a和b： 例题2：计算 (x-1)(x+1)(x²+1)（引导学生先应用平方差公式计算前两项，再与第三项相乘：(x²-1)(x²+1) = x⁴ - 1） 设计意图：通过基础例题规范公式应用步骤，让学生掌握“先识别再应用”的方法；通过易错例题辨析，提前规避常见错误；通过进阶例题，培养学生灵活应用公式的能力，深化对公式的理解。 练习： 1.基础练习（巩固公式直接应用）： ① (a+4)(a-4)；② (3x-2y)(3x+2y)；③ (-(m+n))(m-n)（学生独立完成，集体订正，重点检查a和b的识别及符号） 2. 提高练习（公式灵活应用）： ① 计算 102×98（引导学生变形为(100+2)(100-2)，应用公式简化计算）；② (2x-y)(2x+y) - (x-2y)(x+2y)（公式应用与整式减法结合） 3. 拓展练习（公式逆用）： ① 若a² - b² = 20，a+b=5，求a-b的值（引导学生逆用公式a² - b²=(a+b)(a-b)，得a-b=20÷5=4）；② 计算 (x+y-z)(x-y+z)（引导学生分组变形为[x+(y-z)][x-(y-z)]，再套用公式） 设计意图：分层练习兼顾不同层次学生，基础题巩固核心知识和规范应用；提高题强化公式的灵活应用和简化计算的价值；拓展题培养逆向思维和分组变形能力，满足学有余力学生的学习需求，逐步深化对公式的理解和应用。 （四）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （五）布置作业、巩固提高 1. 基础作业：教材第21页习题1.6第1、2题（巩固基础知识和基本技能，规范公式应用） 2. 提高作业：计算 ① (x-3)(x+3)(x²+9)；② 2024×2022 - 2023²（强化公式的连续应用和简化计算） 3. 拓展作业：探究平方差公式的几何意义（除了导入情境中的图形，还可以用哪些图形面积表示平方差公式？画图说明）（培养探究精神和几何直观能力） 设计意图：分层作业满足不同学生的学习需求，基础题夯实根基，规范应用；提高题深化灵活应用能力，体现公式简化计算的价值；拓展题激发探究兴趣，延伸课堂学习，建立代数与几何的联系。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $