第04讲 直线的两点式方程（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 直线的两点式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为.    知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】把共线的线段之积转化为向量之积，从而用坐标来进行计算，最后利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】设，则，则直线的方程为，所以． ， 当且仅当时等号成立，此时直线的方程为． 故答案为：. 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 第三部分 题型精讲 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（多选）（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式，斜截式，两点式判断各项正误即可. 【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； 对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确； 对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误； 对于D，直线，令，， 则直线在轴上的截距为，故D错误. 故选：ACD. 【典例2】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【答案】ABD 【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D. 【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确； 直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确． 故选：ABD. 【变式1】（多选）（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线过点，倾斜角为，则其方程为 C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D．直线在轴上截距为2 【答案】ACD 【分析】根据点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线判断A；根据倾斜角为的直线方程表示方法判断B；根据截距式不能表示的直线判断C；根据截距的定义判断D． 【详解】对于A，方程不能表示倾斜角为且过的直线，故A错误； 对于B，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误； 对于D，令得，所以直线在轴上截距为，故D错误； 故选：ACD． 【变式2】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解. 【详解】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC. 【变式3】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，当时，斜率不存在，故B错误； 对于C，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】答案见解析 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 题型03直线的截距式方程 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知不经过原点的直线过点，且满足在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设截距式方程为，代入点，解出，再化简即可； 【详解】设直线的截距式方程为， 将点代入，可得， 解得， 即直线的方程为． 整理可得直线的一般式方程为． 故选：A. 【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 【变式1】（多选）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过，且在轴与轴上的截距都相等的直线有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过讨论截距是否为0即可求解. 【详解】当截距为0时，易得直线方程为：， 当截距不为0时，设直线方程为，代入，解得， 所以直线方程为. 故选:BD 【变式2】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 【变式3】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积 【典例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用两点式求直线，点斜式求直线； （2）由（1）得、、，进而可得的面积，即可求结果. 【详解】（1）因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点， 所以直线的方程为：，化简得. 由已知直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，化简得. （2）由（1）知：直线为，令，得，故. 直线为，令，得，故， 所以. 【变式1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据倾斜角得到斜率，再由点斜式，即可得出结果； （2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可求出三角形面积. 【详解】（1）∵倾斜角为，∴斜率， ∴直线的方程为：，即； （2）由（1）得，令，则，即与轴交点为； 令，则，以及与轴交点为； 所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求： （1）点的坐标； （2）直线的方程； （3）直线与两坐标轴围成三角形的面积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）设出点坐标，利用的中点在轴上，边的中点在轴上，即可求解. （2）利用、两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式写出方程. （3）利用直线的方程，可以求出三角形两直角边，即可得三角形的面积. 【详解】（1）设出点坐标为，边的中点在轴上，边的中点在轴上， 则 ，即得 ，所以点坐标为 （2）， 所以，即 ， 直线的方程为： （3）直线的方程为：， 令 ，得 ，令 ，得， 所以三角形的面积为 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于基础题. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（24-25高二上·全国·阶段练习）已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0. 【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出； （2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出. 【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则，解得m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则. 当m＝2时，S有最大值， 故直线l的方程为x＋y－2＝0. 【典例2】（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）直线l经过点， （1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程. （2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出直线的截距式方程，由题得出，解出即可得出方程； （2）由基本不等式求出，即可得出面积最小值，进而得出直线方程. 【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得， （1）由题可得，解得，，， 则直线方程为； （2），，∴， 当且仅当，时面积取最小值， 则直线方程为. 【变式1】（23-24高二上·黑龙江·阶段练习）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1）或；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程； （2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得． 【详解】（1）当直线的截距为时，则 当截距不为时，设直线l的方程为， 把点代入可得，解得， 故直线l的方程为或. （2）设直线l的方程为，把点P代入可得， 则，即，当，即，时取“” 故， 所以面积的最小值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【变式2】（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角与斜率关系求解． 【详解】由题意， 故选：B． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 9．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 10．（多选）（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴与轴上的截距分别为4，9，若点在直线上，则 ． 【答案】/ 【分析】由截距式方程计算直线的方程，然后将点代入即可求解. 【详解】由题得直线截距式方程为． 又点在直线上， 所以， 解得． 故答案为：. 13．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 【答案】3 【分析】结合截距式的含义直接求解即可. 【详解】直线,故x轴上的截距为2，y轴上的截距为-3， 所以面积为. 故答案为：3 14．（15-16高一上·海南省直辖县级单位·期末）已知在中，点A，B的坐标分别为，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2)y＝. 【分析】（1）由中点坐标公式解出即可； （2）由直线的截距式方程求出即可； 【详解】（1）设点，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上， 由中点坐标公式得解得， 所以点C的坐标为. （2）由(1)知，点M，N的坐标分别为，， 由直线方程的截距式得直线的方程为，即. 15．（24-25高二上·吉林·阶段练习）求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. B能力提升 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】因为直线过点，所以， 令，可得，即直线与轴交于点， 令，可得，即直线与轴交于点， 依题意可得、，所以，则，当且仅当， 即、时取等号， 所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号， 即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为. 故选：B 3．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 4．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线的两点式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 第三部分 题型精讲 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（多选）（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 【典例2】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【变式1】（多选）（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线过点，倾斜角为，则其方程为 C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D．直线在轴上截距为2 【变式2】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【变式3】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 题型03直线的截距式方程 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知不经过原点的直线过点，且满足在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【变式1】（多选）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过，且在轴与轴上的截距都相等的直线有（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【变式3】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【典例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【变式1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求： （1）点的坐标； （2）直线的方程； （3）直线与两坐标轴围成三角形的面积. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（24-25高二上·全国·阶段练习）已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【典例2】（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）直线l经过点， （1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程. （2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程. 【变式1】（23-24高二上·黑龙江·阶段练习）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【变式2】（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 9．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴与轴上的截距分别为4，9，若点在直线上，则 ． 13．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 14．（15-16高一上·海南省直辖县级单位·期末）已知在中，点A，B的坐标分别为，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线的方程． 15．（24-25高二上·吉林·阶段练习）求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. B能力提升 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 4．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$