2.2.3 直线的一般式方程 学历案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第21期） 主备人：曹燕 审查人：孔萍萍 使用日期： 2023.10 2.2.3直线的一般方程 自主学习【学】 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2. 理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(难点) 3. 会进行直线方程的五种形式之间的转化． 【自学评价】 一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称 . 问题1：我们前面学习了直线的哪几种方程？ 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝ 不能表示 不存在的直线 斜截式 y＝ 不能表示 不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示 的直线 问题2：上述方程能否化成Ax＋By＋C＝0的形式？ 问题3:平面直角坐标系中任意一条直线方程都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示吗？ 问题4：任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线吗？ 问题5：二元一次方程的系数对直线位置的影响？ 在方程Ax＋By＋C＝0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为： （1）平行于x轴 （2）平行于y轴 （3）与x轴重合 （4）与y轴重合 （5）过原点 师生研学【研】 题型一　直线的一般式方程 例1.已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 例2.把直线l的一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 【课堂练习】 1. 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，平行于x轴； （3）经过点，； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 2. 求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形. （1）； （2）； （3）； （4）． 总结：求直线一般式方程的策略：在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 例3.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直． 3．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0　　　　 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 问题6：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．(1)l1∥l2 的条件是什么？(2)l1⊥l2 的条件是什么？ 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 课堂练习3. 求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且平行于过和两点的直线； （3）经过点，且与直线垂直． 题型三　含参数的一般式方程问题 例4.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)对上述直线，为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． 变式 训练提升【练】 1. 已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程． 2. 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 3. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 师生总结【结】 1.知识点： (1)直线的一般式方程. (2)直线五种形式方程的互化. (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直. 2.方法：分类讨论法、化归转化. 3.易错点：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 作业：（1）教材习题2.2 （2）课时规范练训练（十六） 4 学科网（北京）股份有限公司 $