2.2.3直线的一般式方程　教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 题目 2.2.3直线的一般式方程 一、内容和内容解析 内容  直线的一般式方程 内容解析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程 直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础. 本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面. 二、学情分析 前面学生已经学过了直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程，具备了一定的数学运算能力，而且大部分学生知识掌握很不错，会利用条件求出直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程，为了能顺利完成这节课教学内容，的学习探重点主要落在直线的一般方程和二元一次方程的关系上，要求学生会根据直线的一般方程写出直线的斜率，直线在梁坐标轴上的截距进而判定两直线的位置关系。 三、目标和目标解析 目标 1. 了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系； 2. 能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化； 3. 能运用直线的一般式方程解决有关问题. 目标解析 数学抽象：一般式方程与二元一次方程的关系 逻辑推理：直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化 数学运算：运用直线的一般式方程解决有关问题 直观想象：直线与方程的关系  教学重点  了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式 教学难点  能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化 四、教学方法分析  本节课采用复习已学知识创设情景小组讨论的教学方法，学生在老师的引导下通过阅读教材自主学习、思考、交流 讨论和概括从而完成本节课的教学目标 五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标 环节一 内容1：复习旧知，提出问题，引入新知 教学情境1. 解决问题1： 形式 点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程 方程 适用 范围 我们可以发现，这四种形式都是关于x,y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？提出课题。 学习任务1．（具体问题的设计，学习或活动、操作方法） 在上述表格的引导下，学生们应该能够自主得到以下结果. 学习任务2． 习旧知，为新课的引入做铺垫。 环节二 内容2：探究新知 教学情境2. 解决问题2： 请同学们带着问题阅读课本第64页 1.思考：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？ 2.任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 3.直线的一般式方程是什么？ 4.直线的一般式能表示所有的直线吗？ 学习任务1．（具体问题的设计，学习或活动、操作方法） 学生小组讨论探索出新知识 1.直线的一般式方程：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程表示，反之，任意一个关系x,y的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式，简称一般式。 2.直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程 理解直线一般式的方程特点，能进行直线方程间的互化。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 小结：. 环节三 内容4：探究新知 教学情境4 解决问题4： 1.直线的一般式方程中可以得到直线的斜率是什么？ 2.直线的一般式方程中的A,B,C满足什么条件时，平行于x轴？平行于y轴？与x轴重合？与y轴重合？ 通过已有知识完成知识构建，记笔记 1.在方程Ax+By+C=0(B≠0)时的斜率公式为 2.（1）当A=0且C≠0时,方程表示的直线平行于x轴, （2）当A=0且C=0时与x轴重合， （3）当B=0且C≠0时,方程表示的直线平行于y轴, （4）当B=0且C=0时与y轴重合 环节四 内容4：例题 教学情境4 解决问题4：请学生们结合前面的学习，自主完成以下例题与习题. 例5 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式及一般式方程。 例6把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。 将知识点进行提炼、总结，引导学生看见题中条件如何思考.反思学习过程，加深理解熟练方法运用。 例题5经过点，斜率为的直线的点斜式方程为，化为一般式，得. 例题6把直线的一般式方程化为斜截式：. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是3 例5、例6源自教材的例题，学生们在完成这些例题，获得直线的特殊形式的方程与一般式方程相互转化的体验.特别是例6，由一般式方程求直线的截距，有一种解法是由得，进而，最后“读”出直线的截距.这种解法与教材所给解法各有千秋，教师可以交由学生自由解读、自由选择. 环节五 【课堂练习1】 （1）写出经过点，斜率是的直线的一般式方程，并求出它的截距； （2）写出经过点，的直线的一般式方程，并求出它的斜率与截距； （3）经过点，平行于轴的直线的一般式方程，并求出它的斜率与截距； （4）写出在轴轴上的截距分别是，的直线的一般式方程，并求出它的斜率. 反思学习过程，加深理解、熟练方法运用。 课堂练习1源自教材的练习，具体教学中，最好是让学生演板（或用智慧课堂设备抓取学生作答情况），展示不同的学生各不相同的解题顺序与途径.教师可以引导学生思考不同过程的优劣，但应让学生们遵从自己的判断，做出选择，教师不作最后评判. 课堂小结 本节课我们主要学习了哪些内容？ 学生思考总结本节课 提高学生的总结能力合作能力 六、目标检测与作业设计 1.已知直线的方程为在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 2.课后作业布置：教材第67页习题2.2第9题、第68页第13题、第14题. 1.【解法一】①当直线在坐标轴上的截距为0，即直线过原点，故，，直线为； ②当直线在坐标轴上的截距不为0，即时，由，得. 由在两坐标轴上的截距相等，得，因为，所以，直线为. 综上可知，或. 【解法二】直线在两坐标轴上截距相等，默认了截距是存在的，即. 由可得： 当，则；当，则； 由在两坐标轴上的截距相等，得，即， 解之得，或，. 综上可知，或 第1题与截距有关，自然需要关注截距是否存在，是否为0的情形.也就是这样的截距式是否有意义的问题.而解法二，则避开了这些讨论.方程的求解过程中，极易出现丢根现象（丢掉）.在具体求解过程中，应创设机会让学生动手，而不是教师代劳.在解析几何的教学过程中，这样的对数学运算核心素养的发展将贯穿始终. . 七、板书设计   2.2.3直线的一般式方程 1. 直线与二元一次方程的关系 例题： 2. 直线的一般方程 学科网（北京）股份有限公司 $$