第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）（知识清单+4类热点题型讲练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法） 第一部分 知识梳理 知识点01：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 第二部分 题型精讲 题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若空间三点，则点到直线的距离为 ． 【典例2】（2022高二上·全国·专题练习）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【变式1】（23-24高二上·河南信阳·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则到直线l的距离为 . 【变式2】（23-24高二上·云南楚雄·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    【变式3】（23-24高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为 ．    题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知矩形中，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为 . 【典例2】（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，，直线与平面所成角的正弦值为 ．    【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 . 题型03点到平面的距离的向量法 【典例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【典例2】（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 【变式1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【变式2】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点.点到平面的距离是 . 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 题型04点到平面的距离的探索性问题 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【典例2】（24-25高二下·福建·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·期末）在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【变式3】（24-25高二上·河南许昌·期末）如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法） 第一部分 知识梳理 知识点01：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 第二部分 题型精讲 题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若空间三点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】借助空间向量求点到直线的距离即可得. 【详解】，，则， 则. 故答案为：. 【典例2】（2022高二上·全国·专题练习）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为点，点， 所以， 所以点到直线的距离为： ， 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·河南信阳·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，可得直线恒过定点，即可得到其方向向量，再由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线l的方程标准化：， 直线l过点，方向向量为. ，，， M到直线l的距离. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·云南楚雄·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    【答案】3 【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，    由，得， 所以， 点为线段上靠近的三等分点，则， 则，所以，， 则，， 因此点到直线的距离， 故答案为：3 【变式3】（23-24高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为 ．    【答案】/ 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出在上的投影长，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，所以，，， 所以直线方向向量 ，又 ， ， 所以在上的投影长为 ， 所以点到直线的距离为    故答案为：. 题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知矩形中，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为 . 【答案】1 【分析】利用等体积法求解即可. 【详解】矩形中,,又因为，且平面，所以平面， 因为，，所以， 在中，又因为，所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得. 故答案为：1. 【典例2】（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用三棱柱的体积公式求出棱长，再利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：，设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质得到，又，由线面垂直的判定定理，可得面，从而可得，再分别求出，，利用等体法，即可求解. 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，，直线与平面所成角的正弦值为 ．    【答案】 【分析】需证面ACD，用等体积方法求出C到面ABD的距离，则可求直线AC与平面ABD所成角的正弦值． 【详解】由已知得，， 又， . 又，,面，则面， 设到平面的距离为，由， 得，则. 设与平面所成角为，则， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意可以补成正方体来研究，再用等体积法计算距离即可. 【详解】由于A、B、C、D这四点中任意两点间距离相等， 所以这四点构成一个正四面体，可以补成正方体，如图所示，    设正四面体的棱长为，则正方体棱长， 根据正四面体的外接球与正方体外接球是一样的，直径， 则，已知球半径，则，解得， 先求正四面体的体积，可以看做长方体体积减去4个全等的直三棱锥体积， 即， 又可把正四面体底面看作是由四个全等的等边三角形三棱锥， 每个底面积， 由等体积法得，，解得. 故答案为：. 题型03点到平面的距离的向量法 【典例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 【典例2】（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量，则即 不妨设，可得， 因为，所以. 则点到平面的距离为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点.点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】解：直三棱柱中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，可得， 又因为，故点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 题型04点到平面的距离的探索性问题 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【分析】（1）在平面图形中证得，取的中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【详解】（1）在图1中，由，得，则，， 由，得，即，在图2中，， 取的中点，连接，由为的中点，得，则， 由，得，而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即，取，得， 设平面的法向量为，则，即，取，得. 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以，则点到平面的距离为1， 令，由（2）得，平面的法向量为， 点到平面的距离， 所以，所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 【典例2】（24-25高二下·福建·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）取中点，根据线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，①利用坐标法可求得两平面法向量，即可得两平面夹角余弦值；②设，利用坐标法表示点到平面距离，列方程，即可得解. 【详解】（1） 取中点，连接，， 又点是中点， ，且， ，， ，且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2） 平面，且，则以点为坐标原点建立空间直角坐标系， ①，，，，，， 易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，的， ， 即平面与平面所成角的余弦值为； ②设，， 又，， 则， 又， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则， 解得， 即存在点使得点到平面的距离为， 此时. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）在平面内找一条直线与平行即可； （2）建系，利用空间向量和数量积公式即可求解二面角的余弦值； （3）根据设点，根据点到平面的距离列出方程，方程存在上的解则存在点，反之则不存在. 【详解】（1） 取的中点，连接，因为是的中点，所以． 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，， 所以平面的法向量为，设平面的法向量为， ，由， 可得，令，则， 所以． 所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． （3）设，且，，则， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，所以． 因为点到平面的距离为， 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·期末）在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可； （3）先设球心坐标为，再应用空间距离列式计算得出，再应用点到平面距离计算求解. 【详解】（1）在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. （3）设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 【变式3】（24-25高二上·河南许昌·期末）如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而得到平面平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量求法即可得到结论. （3）假设在线段上存在点Q，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论. 【详解】（1）因为平面平面． 平面． 又因为平面， 平面，所以平面平面． （2）平面两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是上一点，所以设, 得，即， 又因为所以, 解得，， ， 设平面的法向量为，则，即, 令，则， 设平面的法向量为，则，即 令，则， 设平面与平面夹角的为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 所以点Q到平面的距离是， ，所以存在点Q满足题意，此时 学科网（北京）股份有限公司 $$