第一章 空间向量与立体几何 阶段小测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

阶段小测（二） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知平面 的一个法向量，点在平面 内,若点在平面 内，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】选.由题意得，因为平面 的一个法向量，所以，即，解得. 2．已知向量,，且 平面 , 平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】选.因为,，所以,，，因为 平面 , 平面 ，平面 与平面 的夹角的余弦值为，所以，化简得，解得 或. 3．在四棱锥中，底面为矩形， 平面，，且与底面所成的角为 ，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】选.因为 平面，所以 为 与平面 所成的角，所以 ,所以.以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 则，， 所以点 到直线 的距离 . 4．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】选. 如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则,,， 所以,， 设平面 的法向量， 则 令，则，,所以， 又易知平面 的法向量， 故,， 设平面 与平面 的夹角为 ，,，则， 故平面 与平面 夹角的正弦值为. 5．《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中， 平面，底面是矩形，，分别为，的中点，为直线上的动点，，，若 平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 因为 平面，底面 是矩形，所以以 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 设，则,,,,,,，0，， 所以，,,,,,,， 设平面 的法向量为， 则 即 令，得,， 所以,1,， 设，因为， 因为 平面，则， 所以，解得，则. 6．已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意及共面向量定理得，,,,四点共面，即点 在平面 内，的最小值为点 到平面 的距离. 方法一：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以,,， 设平面 的法向量为， 则有 取,则， 所以点 到平面 的距离，即 的最小值为. 方法二：点 到平面 的距离即为三棱锥 的高.由题意得 为等边三角形，，,,即,解得.所以 的最小值为. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．已知点在轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线的距离为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.设，则，又直线 的方向向量为，所以点 到直线 的距离，解得，则或. 8．在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线，所成的角为 D. 与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】选.因为平面 平面，平面 平面, 平面,,所以 平面，则,,两两垂直.如图， 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则,，，，，,，. 对于，因为，,，平面 的一个法向量为，所以，又因为 平面,所以 平面，故 正确; 对于，因为,,，，所以， 所以，不垂直，故 错误; 对于，因为,,，，所以,，所以异面直线，所成的角为，故 正确; 对于，设平面 的法向量为， 因为,,，， 所以 令，得. 设 与平面 所成的角为 ，，, 因为， 所以,，，故 错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．已知，，，点，若 平面，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题可得，,，因为 平面， 所以 即 解得 则. 10．在直三棱柱中， ,,分别是,的中点，，则与所成角的余弦值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设， 则,，,,,， 于是，，所以 与 所成角的余弦值为. 11．如图， 平面，底面是正方形，,分别为，的中点，点在线段上，与交于点，,若平面，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图所示，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得,,,,， 则，, 所以,， 设平面 的法向量为， 则 即 令，则. 因为 平面，则， 设，,则， 所以，解得， 所以,0,，即. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向直角梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.求证： （1） 平面；（6分） （2） 平面.（7分） 【答案】 （1） 证明：因为平面 平面，平面 平面. ， 平面, 所以 平面，而， 所以以 为坐标原点,，，分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,，，，，，0，. ，0，，，. 设平面 的法向量为, 则 取,得,,即, 所以， 又因为 平面， 所以 平面. （2） 由（1）知，，. 设平面 的法向量为, 则 所以,取,得, 即,显然, 所以 平面. 13．（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，,,,,是的中点. （1） 求证: 平面；（5分） （2） 若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.（10分） 【答案】 （1） 证明：因为 的中点为，则. 因为, 所以,则, 故 ，即. 因为，， 平面，所以 平面. （2） 解：以 为坐标原点，过 作 轴垂直平面，以,所在直线分别为 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 为 的中点,所以,又因为，得， 所以，，，，， 所以,, ,. 设平面 的法向量为， 由 得 令,得 为平面 的一个法向量， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 , 时，， 所以， 所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为. 14．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面 平面，，，,,，为棱的中点. （1） 求平面与平面夹角的余弦值；（6分） （2） 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（9分） 【答案】 （1） 解：由平面 平面,平面 平面,, 平面， 得 平面，又 平面， 所以，又,,， 有，故， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,1,， 得，，1，， 易知平面 的一个法向量为， 设平面 的法向量为， 令， 得,，则， 所以,， 即平面 与平面 夹角的余弦值为. （2） 由（1）知， 则， 假设存在满足题意的点. 设， 则， 得 即， 所以， 故点 到平面 的距离， 即， 解得 或（舍去）， 所以存在满足题意的点,0,. 此时,0,， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $