第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）（知识清单+6类热点题型讲练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：直线与平面所成角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 5、利用向量法求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 第二部分 题型精讲 题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将沿EF翻折至，使得.则直线PB与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由题可得平面平面，据此过P点做，则平面， 据此由等体积法可得B到平面距离，然后可得答案. 【详解】由题可得，因，则. 由对称性，可得，.又由题可得， 则，从而. 注意到，，又，平面. 则平面，又平面，则平面平面. 又因为以的直角三角形，则可过P点如图做. 又平面平面，平面，则平面. 则.注意到， 则， 则，则. 又注意到，，其中为B到平面距离， 又，则， 则直线PB与平面所成角的正弦值满足. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； (2)根据勾股定理证明，从而求出的长度，再根据面面垂直的判定以及性质可得即直线与平面所成角，最后利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. （2）在中，，，， 所以， 在中，， 由可得， 在中，，则， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，证得平面，得到为与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，连接交于点， 因为四边形为正方形，可得， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，可得， 所以，所以. 故选：D. 【变式2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由体积和底面积，可求出顶点 到底面 的垂直高度 ，进而由直线与平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果. 【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为： 因为三棱锥的体积为1 和底面积 ， 得：解得： 设直线 与平面 所成角为，所以 故选：C 【变式3】（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）法一：证明出线面垂直，得到，设，求出其他各边长，得到，利用等体积法得到点到平面的距离，进而得到直线与平面所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到即直线与平面所成线面角的平面角，设，求出各边长，得到线面角的正弦值. 【详解】（1）法一：取中点，连接 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 因为平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 又因为平面，平面且. 所以平面平面. 因为平面，所以平面 法二：连接，记与的交点为，连接. 在中，，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面，所以平面. （2）法一：为等边三角形，为中点，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以. 设，则，， 由勾股定理得， 故； 设点到平面的距离为， 其中， 又. 所以. 法二：设，取的中点，连接，交于点，连接. 因为，所以 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以≌，所以， 故，故， 又因为，平面，所以平面. 所以即直线与平面所成线面角的平面角， 有勾股定理得， 故， 所以. 题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法） 【典例1】（2025·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱的中点，交于点，且平面． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，再由线面垂直的性质得出，即可由线面垂直的判定定理得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）由可知，且， , , ，即， 又平面，平面， ， 平面， 平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由可得，再由， 则, 故， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则, 即直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，需要证明BD垂直于平面内的两条相交直线.利用菱形的性质得到，再通过全等三角形证明，进而得出结论. （2）先根据已知条件求出相关线段的长度，证明底面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用向量的夹角公式求出与夹角的余弦值，再根据线面角与向量夹角的关系求出与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接底面是菱形，是与的交点, ，即，且是与的中点, 又, , , ， 平面平面， 平面. （2）解：为的中点，所以 又，由余弦定理可得， ，即， 平面平面， 底面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， ，， 令，则， 即， ． 记与平面所成角为，则, 即与平面所成角的正弦值为. 【变式1】（24-25高二下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为，所以根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2） 以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为底面ABCD是直角梯形，，，， 所以， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，所以，令，则， 设PC与平面ADM所成角为， 所以， 所以PC与平面ADM所成角的正弦值为. 【变式2】（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，平面平面，． (1)证明：； (2)若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，易得，再由线面垂直的判定和性质即可证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点的坐标，求出平面的法向量及，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，由， 所以，都在平面内，则平面， 由平面，故； （2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系， 而，则，且， 设平面的一个法向量为，取的中点，又， 所以，为的垂心，则在上， 设，则，故，而， 所以，可得，故， 所以与平面所成角的正弦值. 题型03求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件找到其横坐标和竖坐标之间的关系，再求线面角正切值的最大值即可. 【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系如下所示： 则， 设点的坐标为，， 因为，即，即； 取平面的一个法向量为， 故，则， 又在单调递减，在单调递增， 故时，取得最小值，取得最大值， 此时，取得最大值为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一下·浙江·期末）在正四面体中，的中点为D，动点E在线段上（包括端点），记直线与平面所成角为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算出的表达式，由此求得的取值范围. 【详解】设正四面体底面中心为，是中点，连接，则在上. 设正四面体的棱长为， ，. 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 为中点，所以， 设，， 即， 则， 则， 则， 平面的一个法向量为， 所以 . 当时，， 当时，， 由于，所以， . 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】有关线面角的问题，可建立空间直角坐标系，利用向量法来解决. 【变式1】（23-24高二·全国·单元测试）如图所示，在正方体中，AB＝3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 . 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，根据，求得的关系，再根据平面，可得，解即可. 【详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为， 所以， 所以，则， 因为平面， 所以即为AM与平面所成角，即， 则， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：因为三棱柱的侧棱与底面垂直，， 所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，，，， 所以， 由题知平面，故是平面的法向量， 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当直线与平面所成的角最大时，. 故答案为： 【变式3】．（23-24高二上·浙江·期末）如图在四棱锥中，平面，，，，，，E是直线上的一个动点，则与平面所成角的最大值为 ． 【答案】. 【分析】建立空间直角坐标系如图，先求得平面的法向量，再设，则，设与平面所成的角为，则，由此可得，进而可得结果. 【详解】依题意，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， ，因为，所以设， 设平面的一个法向量为， 由得，取，得， 设，则， 设与平面所成的角为，则 ， 又，所以，当即点与点重合时，与平面所成的角有最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：求得平面的法向量和. 题型04已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 【答案】（或） 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算计算向量与平面的法向量，由线面夹角的正弦公式列方程可得的关系，结合基本不等式求最值即可得结论. 【详解】因为四棱柱中，平面，， 所以如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 则，， 所以. 易得是平面的一个法向量. 所以， 即. 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立.令，则，解得或（舍去）， 则，故的最大值为. 故答案为：（或）. 【典例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角的正弦值，进而反求出. 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的正弦值为，即可求得答案. 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 【变式3】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 题型05直线与平面所成角中的探索性问题 【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，,不垂直， (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性质可分别证得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）由线面平行性质可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果. 【详解】（1），，由余弦定理得：， ，即， 作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； ，平面，平面， 平面，. （2），平面平面，， 又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，， ，， 设平面，即平面的法向量， 则， 令，解得：，，， 直线与平面所成角为， ， 解得：，满足，. 【典例2】（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，位于中点 【分析】（1）根据题意可得，，可证平面，即可得； （2）可证平面，建系标点，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解. 【详解】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 【变式1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，四边形为梯形，，，四边形为矩形，且平面，，为FB的中点．    (1)证明：平面． (2)在线段FD（不含端点）上是否存在一点M，使得直线BM与平面所成角的正弦值为？若存在，求出BM的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法列式求解判断即得. 【详解】（1）由，平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是，而平面，所以平面．    （2）假设在线段FD上存在一点M，使得直线BM与平面所成角的正弦值为． 设，，， 则，由（1）知，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BM与平面所成的角为， 则 ，整理得，而，解得， 所以存在满足题意的点，此时． 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取的中点，连接和，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量法二面角的余弦值. （3）由（2）中相关信息，利用线面角的向量求法求解即得.. 【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接和，由E是PA的中点， 得，且，又， 则且，四边形为平行四边形， 于是，而平面，平面，所以平面. （2）由，，得，由平面，平面， 得，而，则 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则 由，得，解得，即 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设二面角的大小为，由图形观察得为锐角， 因此， 所以二面角的余弦值是. （3）假定存在点满足条件，设点，由， 得，则，又平面的法向量为， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，又，解得，此时， 所以存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，. 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求； （3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求. 【详解】（1）因为，所以，且， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可知，所以， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为，所以， 故二面角的正弦值为.    （3）设，因为，所以， 因为，所以， 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以，解得， 因为，所以. 题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 （忽视最后正弦转余弦） 【典例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 【变式1】（23-24高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：直线与平面所成角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 5、利用向量法求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 第二部分 题型精讲 题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将沿EF翻折至，使得.则直线PB与平面所成角的正弦值为 . 【典例2】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【变式1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3】（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法） 【典例1】（2025·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱的中点，交于点，且平面． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1】（24-25高二下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 【变式2】（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，平面平面，． (1)证明：； (2)若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 题型03求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为 ． 【典例2】（23-24高一下·浙江·期末）在正四面体中，的中点为D，动点E在线段上（包括端点），记直线与平面所成角为，则的取值范围为 ． 【变式1】（23-24高二·全国·单元测试）如图所示，在正方体中，AB＝3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 . 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 . 【变式3】．（23-24高二上·浙江·期末）如图在四棱锥中，平面，，，，，，E是直线上的一个动点，则与平面所成角的最大值为 ． 题型04已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 【典例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 【变式3】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 题型05直线与平面所成角中的探索性问题 【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，,不垂直， (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 【典例2】（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，四边形为梯形，，，四边形为矩形，且平面，，为FB的中点．    (1)证明：平面． (2)在线段FD（不含端点）上是否存在一点M，使得直线BM与平面所成角的正弦值为？若存在，求出BM的长；若不存在，说明理由． 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 （忽视最后正弦转余弦） 【典例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$