专题5 巧用因式分解解决问题&第11章 因式分解综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(青岛版2024)

=-(4m+n)(2m-3n), 专题五巧用因式分解解决问题 当4m+n=40,2m-3n=5时，原式=-40×1.C2.C3.C4.C5.D 5=-200. 6.解：2026°-2024°=(2026+2024)×(2026- 23.解：【公式推导】 2024)=4050×2=8100. a3+6 7.解：根据题意，得a+b=21,ab=90 =a+a'b-a'b+b (1)a2b+ab=ab(a+b)=1890. =a(a+b)-b(a2-b2) (2)a°+b2=(a+b)2-2ab=212-2×90=261,所 =a*(a+b)-b(a+b)(a-b) 以a2+b2+ab=261+90=351. =(a+b)[a2-b(a-b)] 8.解：(1)①②③ =(a+b)(a2-ab+b). (2)①(.x-y2)+(x+y) 【公式应用】 ②(2a-2b)+(a2-2ab+b) (1)(x-3)(x+3.x+9) (3)(2x+y+1)(2x-y+1) a(2w+(ry-号w+） 本章综合提升 【本章知识归纳】 第2课时用完全平方公式进行因式分解 乘积a2-b2a2士2ab+b 1.C2.A3.C4.D5.C 【思想方法归纳】 6.(1)2024(.x-1)2(2)-a(m-2) 【例1】解：原式=一(x+y+2xy)=-(x十y)2. 7.D 【变式训练1】 8.(1)3(m-1)(2)ab(a+1) 解：(1)原式=x一4x+3+1 9.B10.B11.B12.D13.C =x2-4.x+4 14.(x-1)215.-y(3x-y) =(x-2)2. 16.217.-25 (2)原式=(m一n)2一4(m一n) 18.(x+y-3) 19.5m3+10m2十5m5m(m十1)（答案不唯一） =(m-n)[(m-n)2-4] 20.解：(1)原式=a(b2-4b+4)=a(b-2). =(m-n)(m-n十2)(m-n一2). (2)原式=y(x”-2xy十y2)=y(x-y)2. 【例2】解：因为x-(y十g)2=8, (3)原式=4x(x2-4xy+4y)= 所以(x-y一2)(x+y十x)=8. 4x(x-2y)2. 因为x十y十g=2, (4)原式=x2+4x十4=(x十2). 所以x-y一x=8÷2=4. 21.解：(1)令m十n=A, 【变式训练2】 则原式=A-6A十9=(A-3), 解：(1)2(a+b)2-8=2[(a+b)2-4]=2(a+b+ 再将A还原， 2)(a+b-2). 原式=(m十n一3). (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(.x2-1)-3]= (2)①M=(a-b)[(a-b)-2]+1, (.x2-4)2=(x十2)产(x-2)2. 令a-b=C, 【通模拟】 则M=C(C-2)+1 1.C2.A3.B4.D5.D6.A =C-2C+1 7.4a(a-7b)8.a(a+3)(a-3)9.a(h-1) =(C-1)2 10.-m(m-1) =(a-b-1). 11.(x-y)(a+2b)(a-2b)12.13013.-6 ②因为M=0, 14.1015.36 所以(a-b一1)2=0， 16.解：(1)原式=3.x(4x一1) 所以a-b一1=0， =3x(2x+1)(2.x-1). 所以a一b=1. (2)原式=3a(.x-2xy+y2) 22.解：(1)C =3a(x-y). (2)(.x-2) (3)原式=[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+ (3)设x+2.x=y, b)] 原式=y(y+2)+1 =(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b) =y2+2y+1 =(3a-b)(a-3b). =(y+1) 17.解：设x2-4x=y, =(x+2x+1) (.x2-4x+1)(x2-4.x+7)十9 =(x+1). =(y+1)(y+7)+9 26 =y”+8y+7+9 (2)因为∠B=120>90°， =y°+8y+16 所以△ABC为纯角三角形. =(y+4) (3)因为∠C=90°， =(x”-4x十4) 所以△ABC为直角三角形. =[(x-2)] (4)因为AB=BC, =(x-2) 所以△ABC为等腰三角形 18.解：(1)m2+2mn+n2十ma十na 14.解：(1)△ABE的三个内角分别是∠BAE, =(m2十2nn十n2)+(ma十a) ∠B,∠AEB. =(m十n)2+a(m十n) (2)AD AC =(m十n十a)(m十n). (3)6分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE, (2)x+x'y-xy-y △ADC,△AEC =(x3-xy)+(x2y-y3) 这些三角形中，直角三角形有△ABE,△ADE, =x(x2-y2)+y(x2-y2) △AEC:锐角三角形有△ABC,△ADC:钝角三角 =(x+y)(x+y)(x-y) 形有△ABD =(x+y)(x-y). (4)线段AD是△ABD,△ADE,△ADC的公 因为x十y=4,且x3+x2y-xy2-y1=-32, 共边. 所以(x十y)(x-y)=-32, (5)∠ADC是△ADE,△ADC的公共角：∠AED 所以x一y=一2. 是△ABE,△ADE的公共角. (3)(x-2y)(x+y) 15.解：(1) 【通中考】 连接点数/个 123456 19.D20.A21.B 出现三角形的个数/个3610152128 22.xy(x+2)23.(x+3)(x-3)24.(x+1) 25.(y-1)(x-4)26.2a(a+2)(a-2) (2)共连接了8个点，(3③)2a+1D(a+2) 27.x(x+5)(x-5) 第2课时三角形的内角和 28.2(x-1)229.3m(a-b)月 1.D2.B3.A4.30°5.A6.A7.B8.90 30.(.x+3)2 9.50°或80°10.B11.B12.C13.B14.50° 3引.解：因为3m十n-名m-后 b 15.20或30°16.88 17.解：延长EF交BC于点H,过点B作BT⊥BC交 所以b=a(3十n),c=amn, AF于点T,如图所示 则b2-12ac=[a(3m+n)]-12a2mn =a2(9m2+6mn+n2)-12amn =a“(9m2-6mn十n2) =a2(3m-n)2. 因为a,m,n是实数， 所以a2(3m-n)≥0， 所以b2-12ac为非负数 因为BT⊥BC, 第12章平面图形的认识 所以∠TBC=90°. 12.1三角形 因为∠ABC=140°， 第1课时三角形的分类 所以∠ABT=∠ABC-∠TBH= 1.D2.C3.A 140°-90°=50°. 4.(1)3△ABD,△ADC,△ABC 因为∠AFE=75, (2)ABD ADC ABD ADC 所以∠AFH=180°-∠AFE=180°-75=105°. (3)∠ABD,∠BAD,∠ADB 因为BC⊥EF,BT⊥BC, 5.A6.A7.D8.C9.D10.A1L.D 所以BT∥EF, 12.(I)AC,AD,CD∠BAC,∠ABC,∠ACB 所以∠ATB=∠AFH=105. (2)BC BDC ABC DBC 因为∠A+∠ABT+∠ATB=180°， (3)△BCD,△ACD 所以∠A=180°-（∠ABT+∠ATB)=180° 13.解：(1)因为∠A=35°，∠B=60°，∠C=85°， (50°+105°)=25 所以∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°. 18.解：(1)240 所以△ABC为锐角三角形. (2)因为∠A十∠ABC+∠ACB=180°，∠A=45°， 27专题五 巧用因式分解解决问题（答案P26) 类型1整除问题 类型4阅读理解型 1.对于算式2023一2023，下列说法不正确的 8.阅读理解，【方法阅读】 是( 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法 A.能被2022整除 B.能被2023整除 等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进 C.能被2024整除 D.不能被2021整除 行分解，比如多项式x2一4y2一2x+4y.这样 2.对于任意整数n,(2n十3)2一1都() 我们就需要结合式子特点，探究新的分解方 A.能被2整除，不能被4整除 法.仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前 B.能被3整除 两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的 C.既能被2整除，又能被4整除 后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后 D.能被5整除 两组分别进行因式分解后会出现新的公因式， 3.对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a+5)一4 提取新的公因式就可以完成对整个式子的因 都能() 式分解.具体过程如下： A.被9整除 B.被a整除 x2-4y2-2.x+4y C.被a十1整除 D.被a一1整除 =(x2一4y2)一(2.x一4y)…分成两组 类型2数的简便运算 =(x十2y)(x-2y)-2(x-2y)…分别分解 4.计算：1252-50×125+252=() =(x一2y)(x+2y一2).…提公因式完成分解 A.100 B.150 C.10000D.22500 像这种将一个多项式适当分组后，再进行因式 5.运算能力◆现有一列式子：①552一45；②5552一 分解的方法叫作分组分解法.分组分解法一般 445:③55552一44452：…，则第⑧个式子的计 是针对四项或四项以上的多项式，关键在于恰 算结果用科学记数法可表示为( 当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继 A.1.1111111×105B.1.1111111×10 续分解，直到完成分解」 C.1.111111×105 D.1.1111111×10 【数学思考】 6.利用因式分解计算： (1)关于以上方法中“分组”，在以下说法中所 20262-2024. 有正确的序号是 ①分组后组内能出现公因式： ②分组后组内能运用公式： ③分组后组间能继续分解。 类型3目求代数式的值 (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分 组比较合适？ 7.如图所示，长、宽分别为a,b的长方形，它的周 ①x2-y2十x十y= 长为42，面积为90，求下列各式的值： ②2a+a2-2b-2ab+b2= (1)ab+ab2. 【问题解决】 (2)a2+b2+ab. (3)利用分组分解法进行因式分解：4x2+4x y2+1= 一七年级下带数学：00 119 本章综合提升（答案P26) 本章知识归纳 概念：把一个多项式化成几个整式的 形式 「提公因式法 因式分解 方法 了平方差公式： =(a+b(a-b) 、公式法 (完全平方公式： =(a±月 因式分解的一般步骤：一提，二套，三查 思想方法纳 求值的代数式进行因式分解，然后整体代入 求值。 1.转化思想 一链接亦章… 【例2】若x十y十g=2,x2-(y+x)2=8, 本章中某些多项式从表面上看是无法 求x一y一x的值. 直接进行因式分解的，需通过适当的转化、 变形，才能利用因式分解的有关方法进行因 式分解. 【变式训练2】 因式分解： 【例1】因式分解：-2xy-x2-y2. (1)2(a+b)2-8: (2)(x8-1)2-6(x-1)+9. 【变式训练1】 因式分解：(1)(x-1)(x-3)+1: 通模拟929299992n90n99 1.(2024·聊城冠县期末)下列各式从左边到右 (2)(m-n)3+4(n-m). 边的变形中，属于因式分解的是() A.a(x+y)=axtay k10x-5=5x(2-2》 2.整体思想 C.y2-4y+4=(y-2) “链接亦章… D.t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t 整体思想在本章中的应用表现在两个 2.(2024·菏泽巨野期末)下列因式分解错误的 方面：(1)在因式分解的过程中，公因式以及 是( 公式中的字母可以是单项式或多项式，故必 A.3a.x2-6ax=3(a.x2-2ax) 须随时注意多项式的整体性，应用整体思 B.2x2-8y2=2(x+2y)(x-2y) 想，可使计算化繁为筒，化难为易.(2)在已 C.x(z-y)+y(y-x)=(x-y)2 知一个代数式的值求代数式的值时，常将被 D.-ax2+2a.x-a=-a(x-1) 120 优十学鑫课的道 3.(2024·泰安泰山区期末)因式分解64一x2正 结果为(2x十m)(nx+1),其中m,n均为整 确的是() 数，则m一n的值为 A.(8-x) B.(8-x)(8+x) 14.(2024·泰安肥城月考)已知a十b=1,则代数 C.(x-8)(x十8) D.(32+x)(32-x) 式a-b2+2b+9的值为 4.(2024·菏泽曹县期末)如图所示，一个大正方 15.(2024·菏泽鄄城期末)已知xy=2,x-3y 形被分割成的四部分的面积分别为15m, 3,则2x3y-12x2y2+18xy3= 9n',25m2,15mn(m>0,n>0),则大正方形的 16.(2024·群坊寿光期末)将下列各式因式 边长为( 分解： (1)12.x3-3x: 157mm 9n 25m 15H A.5m+9n B.5m-3n (2)3ax2-6axy+3ay2: C.25m+9n D.5m十3n 5.(2024·泰安泰山区模拟)如图所示，已知R= 6.75,r=3.25,则图中阴影部分的面积为（结 果保留π)( (3)4(a-b)2-(a+b)2. A.3.5π B.12.25πC.27π D.35π 17.(2024·菏泽成武期末)阅读理解： 6.(2024·烟台莱州期末)32024一4×32023+10× 例：因式分解(x2十6.x十5)(x2+6.x 3222一定能被下面哪个数整除(） 7)+36. A.7 B.8 C.10 D.11 解：设x2十6x=y. 7.(2024·北京海淀区模拟)因式分解：4a2一 原式=(y+5)(y-7)+36=y2-2y-35+ 28ab= 36=y2-2y+1=(y-1)2=(x2+6x-1)2. 8.(2024·鹊坊寿光模拟)因式分解：a3一9a= 解决问题：请你模仿以上例题进行因式分解： (x2-4.x+1)(.x2-4x+7)+9. 9.(2024·潍坊濉城区模拟)因式分解：ab2一 2ab+a= 10.(2024·聊城东阿模拟)因式分解：一m十 2m2-m3= 11.(2024·泰安岱岳区模拟)因式分解： a(x-y)-4b2(x-y)= 12.(2024·菏泽巨野期末)已知a十b=13,ab= 10,则ab+ab2= 13.(2024·菏泽曹县期末)把多项式(3x一2)· (2.x-5)-(2x一5)(2x-3)进行因式分解的 一仁年级下节丽数学00 121 18.(2024·聊城东阿期末)我们知道常用的因式 21.(河北中考)若k为任意整数，则(2k十3)2一 分解的方法有提公因式法和公式法，与此同 4k”的值总能( ) 时，某些多项式只用上述一种方法无法因式 A.被2整除 B.被3整除 分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因 C.被5整除 D.被7整除 式分解的过程。 22.(2024·山东中考)因式分解：xy十2xy= 甲：.x2+xy-2x-2y =(x2十xy)一(2x十2y)(先分成两组) 23.(2024·无锡中考)因式分解：x2-9= =x(x+y)-2(x+y)=(x+y)(x-2). 乙：a2-b2+2b-1 24.(2024·盐城中考)因式分解：x2+2x+1= =a-(b2一2b十1)（先分成两组）》 =a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1). 25.(黄石中考)因式分解：x(y一1)+ 两位同学分解因式的方法叫作分组分解法。 4(1-y)= 请尝试解决下列问题： 26.(2024·东营中考)因式分解：2a3-8a= (1)试用上述方法分解因式：m2+2mn十n2十 ma十na. 27.(2024·北京中考)因式分解：x2一25x= (2)已知x+y=4,且x3+x2y-xy2 y3=-32,求x-y. 28.(2024·扬州中考)因式分解：2x2一4x+2= (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方 式对多项式进行因式分解，利用这样的思路， 29.(东营中考)因式分解：3ma2一6mab+3mb2= x2一xy一2y2可以因式分解为 30.(2024·成海中考)因式分解：(x十2)(x+ 4)+1= 31.(2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满 足3m十n合m二试说明：6-12ac为 非负数. j通中考D09w2279223239292099 19.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那 么a3b十2a2b2+ab3的值为( A.0 B.1 C.4 D.9 20.(2024·云南中考)因式分解：a3一9a= A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3) D.a(a-9) 122 优十学鑫课的道一