初中数学思想方法宣讲 第3课 数形结合思想（课件）

初中数学思想方法选讲 数形结合思想 主讲：黄继彬 数形结合思想:是指将数量与图形结合起来进行分析、研究和解 决问题的一种思维策略.数形结合就是把抽象的数量关系与 直观的几何图形结合起来,利用图形的直观加深对数量关系 的理解,同时又利用数量关系的抽象性加深对几何图形的认 识,以此来实现抽象思维与形象思维的结合与转换. 数与形本是相倚依，怎能分作两边飞； 数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休。 　 　 　 　 　 　 　 　 ——华罗庚 例1.已知a＜0,b＜0,且a＜b,求下列式子的大小关系: (1)-b与-a (2)-a与|b| (3)|b|与|a| a b 0 -b -a |b| |a| 解:根据题意,在数轴上表示以上全部式子, (1)-b＜-a (2)-a＞|b| (3)|b|＜|a| 根据数轴上的数右边的总比左边的大,可得: ① ② 解:由①,得x≤3, 由②,得x＞a ∵不等式组无解 ∴两个不等式的解集没有公共部分 3 ● a ● ○ ∴a≥3 例3.如图,⊙O是△ABC的内切圆, 切点分别为D、E、F, AB=5cm, BC=6cm,AC=7cm.求AD、BE、CF的长度. ● A B C D E F O 解:设AD=xcm,BE=ycm,CF=zcm, 根据切线长定理,得 AD=AF=xcm,BD=BE=ycm,CE=CF=zcm, ∵AB=5cm,BC=6cm,AC=7cm ① ③ ② ①+②+③,得 2(x+y+z)=18 ∴x+y+z=9 把①代入上式,得z=4 把②代入上式,得x=3 把③代入上式,得y=2 ∴AD=3cm,BE=2cm,CF=4cm. x x y y z z A D E F C B 例4.如图,在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若 DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB同时成立,求点D在AB上的位置. 解:设AB=1,AD=x 解之,得 ∵△ABC为正三角形,且 DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB, ∴AF=2x ,从而 CF=1-2x , CE=2CF=2-4x BE=1-CE=4x-1, BD=2BE=8x-2 ∵AD+BD=1, ∴x+(8x-2)=1 即点D位于AB边上 分点处. x 2x 1-2x 2-4x 4x-1 8x-2 例5.若M( ,y1),N( ,y2),P( ,y3)三点都在函数 的图象上,求y1,y2,y3的大小关系. (0,c) ● 所以答案选D 例6.对于二次函数y＝ax2+bx+c若a＞0,b＜0,c＜0,则下面关于这 个函数与x轴的交点情况描述正确的是( ) A.只有一个交点 B.有两个交点,都在x轴的正半轴 C.有两个交点,都在x轴的负半轴 D.有两个交点一个在x轴的正半轴,一个在x轴的负半轴 例7.若关于x的方程ax2-2x+1=0(a＞0)的两根满足:x1＜1,1＜x2＜3, 求a的取值范围. 解:画出与方程对应的二次函数y=ax2-2x+1(a＞0)的草图: x y 0 1 2 3 由图可知:当x=1时,y＜0;当x=3时,y＞0. ∴a×12 -2×1+1＜0,解之,得a＜1 a×32-2×3+1＞0,解之,得 x y 例8.下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,根据图象解答问题: (1)求方程ax2+bx+c=0的根; (2)求不等式ax2+bx+c＞0的解集; (3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 0 1 2 3 2 解:(1)由图象可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴相交于点(1,0)和(3,0). ∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=1,x2=3 (2)由图象可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 在x轴上方部分处在点(1,0)和(3,0)之间. ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是1＜x＜3. (3)由图象可知直线y=k在向下平移过程中,当移动到点(0,2)下 方时与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)有两个交点. ∴若方程ax2+bx+c=k有两个不等实数根,则k＜2. y=k 例9.若关于x的不等式0≤x2+mx+2≤1仅有一个解,求m的值. 解:如图,在同一坐标系内,作出y=1与y=x2+mx+2的图象. x y 0 y=1 已知条件等价于抛物线y=x2+mx+2在 直线y=0与y=1之间的带状区域(包括 这两条直线)仅有一个点. 由于抛物 线开口向上,所以这个点就是抛物线 与直线