初中数学思想方法宣讲 第2课 分类讨论思想（课件）

初中数学思想方法选讲 分类讨论思想 主讲：黄继彬 1.分类讨论思想:又称逻辑划分,即把所有研究的问题根据题目的 特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来 解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决 的数学思想,称为分类讨论思想. 注意:当数学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形 不确定时,就应分类讨论. 分类讨论解题的实质,是将整体 问题化为部分问题来解决,以增加题设条件. 2.分类讨论的步骤及原则: (1)明确讨论对象,确定对象的全体,确立分类标准(标准统一,标 准不同,结果也不相同); (2)恰当分类(结果无遗漏,无交叉重复); (3)逐类讨论(逐级进行,不越级讨论); (4)归纳总结,综合得出结论. 例1.等腰三角形的一个角等于30°,腰长为20cm,求等腰三角形 腰上的高. ) 30° ∟ A B C D 20cm 10cm 解:分两种情况讨论: (1)如图,当顶角∠A=30°时, 作BD⊥AC于点D. 在Rt△ABD中, ∵∠A=30° 同理,可得AC边上的高也是10cm. A B C ) 30° ∟ D 20cm ) 60° (2)如图,当底角∠B=30°时,延长BA,作CD⊥BA于点D. 在Rt△ACD中, ∵AB=AC 同理,可得AC边上的高也是 ∴∠B=∠ACB=30° ∴∠DAC=∠B+∠ACB=30°+30°=60° 例2.已知直角三角形两边x、y的长度满足 则第三边长为多少? 例3.A、B两地相距450千米, 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发, 相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时, 问:经过几小时两车相距50千米? A B C D 120x千米 80x千米 50千米 450千米 解:分两种情况： (1)两车相遇前相距50千米,设此时经过了x小时,依题意得 120x+80x+50=450 解之,得x=2 (1) A B D C 80y千米 450千米 (2) 120y千米 50千米 (2)两车相遇后相距50千米,设此时经过了y小时,依题意得 120y+80y-50=450 解之,得y=2.5 综合(1)、(2)可知,经过2小时或2.5小时两车相距50千米. 例4.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应的函数值的取值 范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 解:分两种情况： (1)当k＞0时,y随x的增大而增大,所以 当x=-3时,y=-5;当x=6时,y=-2. -3k+b=-5 6k+b=-2 从而得方程组 解之,得 ∴函数的解析式为 (2)当k＜0时,y随x的增大而减小,所以 当x=-3时,y=-2;当x=6时,y=-5. -3k+b=-2 6k+b=-5 从而得方程组 解之,得 ∴函数的解析式为 例5.如图,在坐标系中,已知点A(-3,-2)、B(0,-2),以点A、B、O、 P为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标. A ● x y 0 ● ● ● ● B P1 P3 P2 解:分三种情况： (1)以AO为对角线, 得矩形ABOP1, P1(-3,0); (2)以AB为对角线, 得 AP2BO, P2(-3,-4); (3)以OB为对角线, 得 ABP3O, P3(3,0). 例6.求函数 的图象与x轴的交点. ① ② 例7.如图,边长为2的正方形OABC中,顶点A的坐标是(2,0).一次函数y=x+t的图 象l随t的不同取值变化时,正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S.写 出S与t的函数关系式． O A B C x y 解:分五种情况讨论: D E (1)当直线l经过点A时,2+t=0,t=-2 ∴当t≤-2时,S=0 (2)当直线l交OA于点D,交AB于点E时, 令y=0,则x=-t;令x=2,y=2+t. 则D(-t,0)、E(2,2+t) ∴ DA=2-(-t)=2+t, AE=2+t ① ② O A B C x y D E (3)当直线l经过原点O时,t=0,此时直线同时经过点B. ∴当t=0时, M N (4)当直线l交OC于点M,交CB于点N时, 令x=0,则y=t;令y=2,x=2-t. 则M(0,t)、N(2-t,2) ∴ CM=2-t, CN=2-t ③ ④ O A B C x y (5)当直线l经过点C时,t=2, 此时, ⑤