专题16 数列问题-2020年江苏省高考数学填空解答题专项拔高训练

专题16 数列问题 考情分析 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 题号 19 20 20 20 19 20 20 真题再现 1.（2019·江苏卷）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． 已知等比数列满足：，求证：数列为“数列”； 已知数列满足：，其中为数列的前n项和． 求数列的通项公式； 设m为正整数，若存在“数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值． 2.（2018·江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． 设，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围； 若，证明：存在，使得对，3，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示． 3.（2017·江苏卷）对于给定的正整数k，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． 证明：等差数列是“数列”； 若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 核心要点 数列是刻划离散现象的数学模型，是高中代数的重要内容之一，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要意义。历年来，江苏高考对数列的考查比较全面，有关数列的试题经常是探索性的综合题。数列问题中蕴含着丰富的数学思想，如函数与方程、转化与化归、分类讨论等，另外还涉及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。对数列知识的研究和复习，要关注以下几点： （1） 在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。 （2） 理解和掌握等差、等比数列通项与求和公式推导中蕴含的基本方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项法等。 （3） 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。 （4） 善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高用函数的思想、方程的思想研究数列问题的能力，注重培养主动探究和科学理性的思维方法。 拔高训练 1. （2019·苏州模拟）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”． 若数列的前n项和为，证明：是“H数列”； 设是等差数列，其首项，公差，若是“H数列”，求d的值； 证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立． 2. （2019·南京模拟）若数列是递增的等差数列，它的前n项和为，其中，且成等比数列． 求的通项公式； 设，数列的前n项和为，若对任意恒成立，求a的取值范围． 3. （2019·无锡模拟）数列的前n项和记为，且，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若，且存在不小于3的正整数k，m，使 若，求， 证明：数列为等差数列； 若，是否存在整数m，k，使，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由． 4. （2019·常州模拟）已知数列满足对任意的，都有，且，其中记． 若，求的值． 设数列满足． 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，，是否存在正整数k，t，使成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，说明理由． 5. （2019·徐州模拟）已知数列，其中． 若满足． 当，且时，求的值； 若存在互不相等的正整数r，s，t，满足，且成等差数列，求q的值． 设数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，且恒成立，求k的最小值． 6. （2019·南通模拟）数列中，对任意给定的正整数n，存在两个不相等的正整数i，，使得，则称数列具有性质P． 若仅有3项的数列1，a，b具有性质P，求的值； 求证：数列具有性质P； 正项数列是公比不为1的等比数列，若具有性质P，则数列至少有多少项？请说明理由． 7. （2019·连云港模拟）已知数列满足，数列的前n项和，且． 求数列的通项公式； 求数列的通项公式； 设，记是数列的前n项和，求正整数m，使得对于任意的均有． 8. （2019·镇江模拟）已知数列满足． 若，证明：是等比数列； 若存在，使得成等差数列． 求数列的通项公式； 证明：． 9. （2019·徐州模拟）在数列中，，且对任意成等差数列，其公差为． 若，求的值； 若，证明成等比数列； 若对任意成等比数列，其公比为设，证明数列是等差数列． 10. （2019·宿迁模拟）已知无穷数列的各项都不为零，其前n项和为，且满足，数列满足，其中t为正整数． 求； 若不等式对任意都成立，求首项的取值范围； 若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由． 11. （2019·淮安模拟）从数列中取出部分项