第30练 导数的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦导数综合应用，涵盖极值、切线、单调性、最值及零点问题，融合2024新课标与全国甲卷真题，梯度设计适配同步教学。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|极值点、切线方程、导函数图象、几何应用、函数性质比较|基础巩固与能力提升结合，含2024新课标真题| |填空题|4题/20分|函数最值、单调性参数范围、曲线交点、构造函数解不等式|梯度递进，覆盖导数应用高频考点| |解答题|1题/14分|含参函数极值与零点个数讨论|综合考查分类讨论与逻辑推理，适配高考要求|

第30练　导数的综合应用 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.若1和2是函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx的两个极值点，则log2(2a－b)等于(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 答案　D 解析　由函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx，可得 f'(x)＝＋2ax＋b， 因为1和2是函数f(x)＝4ln x＋ax2＋bx的两个极值点， 所以 解得a＝1，b＝－6， 所以log2(2a－b)＝log28＝3. 2.曲线y＝ln x＋1在(1，1)处的切线也为y＝ex＋a的切线，则a等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案　C 解析　对y＝ln x＋1求导得y'＝， 则曲线y＝ln x＋1在(1，1)处的切线斜率为1，切线方程为y＝x， 设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切于点(t，et＋a)， 由y＝ex＋a求导得y'＝ex， 于是得解得 所以a＝－1. 3.已知函数f(x)＝x2＋cos x，f'(x)是函数f(x)的导函数，则f'(x)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　f'(x)＝x－sin x，∴f'(x)为奇函数，则函数f'(x)的图象关于原点对称，排除选项B，D； 令g(x)＝f'(x)，g'(x)＝－cos x， 当x∈时，g'(x)<0，g(x)也就是f'(x)在上单调递减，排除A，故C正确. 4.已知某圆锥的底面圆半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面圆半径应为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图为圆锥的轴截面，设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，由已知条件得AO＝＝2， ∵△AOB∽△DCB， ∴，即l＝(2－r)，其中0<r<2， ∴圆柱的体积V＝πr2l＝π(2r2－r3)， 又V'＝π(4r－3r2)， ∴V在上单调递增， 在上单调递减， ∴当r＝时，圆柱的体积V取得最大值. 5.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A.x＝3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D.当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 答案　ACD 解析　对于A，因为函数f(x)的定义域为R， f'(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2 ＝3(x－1)(x－3)， 易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0； 当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增， 在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确； 对于B，当0<x<1时， x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0， 由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以f(x)>f(x2)，故B错误； 对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3， 由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x－1)>f(3)， 即－4<f(2x－1)<0，故C正确； 对于D，当－1<x<0时， f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0， 所以f(2－x)>f(x)，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.函数f(x)＝在(0，e2]上的最大值是　　　　　.  答案　 解析　由题设，f'(x)＝， 易知当0<x<e时，f'(x)>0， 当e<x<e2时，f'(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，e2)上单调递减， ∴f(x)max＝f(e)＝. 7.已知函数f(x)＝x－－2ln x在(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　[1，＋∞) 解析　若f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f'(x)＝1＋≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴k≥－x2＋2x， ∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，故k≥1. 8.(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为　　　　　　.  答案　(－2，1) 解析　因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，所以关于x的方程a＝x3＋x2－5x＋1有两个不相等的正实数根，设f(x)＝x3＋x2－5x＋1，x>0，则f'(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令f'(x)>0，得x>1，令f'(x)<0，得0<x<1，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1).又f(0)＝1，f(1)＝－2，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以实数a的取值范围为(－2，1). 9.定义在R上的函数满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f'(x)－<0，则不等式f(x)－>的解集为　　　　. 答案　(－∞，1) 解析　构造函数F(x)＝f(x)－， F(1)＝f(1)－＝0， F'(x)＝f'(x)－<0， 所以F(x)是减函数， 由f(x)－>，得f(x)－>0， 即F(x)>F(1)， 所以x<1，即f(x)－>的解集为(－∞，1). 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知函数f(x)＝ax3－9x＋1，a∈R. (1)若a＝3，求函数f(x)的极值；(5分) (2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围.(9分) 解　(1)因为a＝3，所以f(x)＝3x3－9x＋1， f'(x)＝9x2－9， 所以当x<－1或x>1时，f'(x)>0； 当－1<x<1时，f'(x)<0， 所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(－1)＝7， f(x)的极小值为f(1)＝－5. (2)f'(x)＝3ax2－9＝3(ax2－3)， 当a≤0时，f'(x)＝3(ax2－3)≤0恒成立，f(x)在R上单调递减， f(x)至多有一个零点，不符合题意； 当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝±， 所以当x<－或x>时，f'(x)>0； 当－<x<时，f'(x)<0， 所以f(x)在和上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)的极大值为f ＝6＋1， f(x)的极小值为f ＝－6＋1， 又f(x)恰有三个零点，所以 解得0<a<108. 综上，a的取值范围为0<a<108. 学科网（北京）股份有限公司 $