函数的奇偶性考点专项练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性高频考点，涵盖选择、填空、解答等题型，梯度设计合理，解析详尽，适配高考一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|奇偶性定义、性质应用、函数求值|基础概念辨析，结合简单计算| |多选题|3题|奇偶性与单调性、导数、零点综合|多选项辨析，考查综合思维| |填空题|3题|奇偶性判定、性质探究、开放型函数构造|灵活应用，注重创新意识| |解答题|5题|奇偶性与周期性、不等式、单调性证明综合|分层设问，强调逻辑推理与综合应用|

函数的奇偶性 高频考点专项练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 3．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（   ） A．0 B． C． D． 6．定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 8．已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是函数的极大值点，则（    ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，，都有 11．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 三、填空题 12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________. ①； ②当时，； ③是奇函数. 13．若是偶函数，则_______ 14．关于函数有如下四个命题： ①的图象关于y轴对称． ②的图象关于原点对称． ③的图象关于直线x=对称． ④的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 四、解答题 15．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 16．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 17．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 18．已知奇函数在区间上是单调减函数，且，，，试判断与0的关系，并证明． 19．已知函数，且． (1)求k的值； (2)试求实数p，使函数在区间上为单调函数； (3)试判断函数的奇偶性． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B D C C A ACD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 根据得到的方程求解即可 ，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 2．A 根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 3．D 根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. ，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 4．B 根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 由函数的图象经过点，得，则， 函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式，则， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故选：B 5．D 判断与图象的对称性，从而求得． 对于，，， 所以的图象关于点对称．因为 所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称， 所以，的图象的交点关于对称， 所以． 故选：D 6．C 利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 7．C 因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 8．A 构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 9．ACD 利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D. 函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 10．ABD 求出函数的导函数，由求出的值，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. A，因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的x恒成立，所以，解得，故A正确； B，令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； C，因为， 当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； D，设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，，都有，故D正确． 11．ABD 根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，结合函数奇偶性和周期性的定义即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解. 对于A：因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C：由B可得，所以，所以函数是最小正周期为4的周期函数，故C错误； 对于D：因为, ,又因为 ， 所以，所以是最小正周期为4的函数， 因为，，所以，. 所以 所以，故D正确. 12． 根据幂函数的性质可得所求的. 取，则，满足①， ，当时有，满足②， 的定义域为，关于原点对称， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 13．0或2 由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 14．②③ 利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 15．(1)，． (2) （1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 16．(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) （1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 17．(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) （1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 18．，证明如下： 由得，因为在上是单调减函数，所以， 又因为为奇函数，所以，即， 同理，，， 所以，即， 所以． 利用函数单调性和奇偶性即可证明. 略. 19．(1)或1． (2) (3)当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数 （1）应用幂函数的单调性列式计算求解参数； （2）分类讨论结合函数单调性列式计算求解； （3）分类讨论结合函数奇偶性定义判断. （1）， ，解得， ， 或1． （2），， ①当时，为单调函数，符合题意； ②当时，二次函数的对称轴为， 要使二次函数为区间上的单调函数，只需或，解得或． 综上所得，p的范围为． （3）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数. 由题意知：，由于，故不可能为奇函数； ①当时，，对任意的x，满足，为偶函数； ②当时，，，，故不是偶函数； 综上可得， 当时，为偶函数； 当时，为非奇非偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $