北师大版九年级数学下册教案：第一章　直角三角形的边角关系 复习教案

1.经历回顾与思考,建立本章的知识框架图.

2.利用计算器,发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系.

3.进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用.

1.体会数形之间的联系,逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题.

2.进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用,增强应用数学的意识.

1.在独立思考问题的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,在交流中获益.

2.认识到数学是解决现实问题的重要工具,提高学习数学的自信心.

【重点】　

1.建立本章的知识结构框架图.

2.应用三角函数解决现实生活中的问题,进一步理解三角函数的意义.

【难点】　应用三角函数解决相关的实际问题.

直角三角形的边角关系

一、锐角三角函数的意义

1.锐角三角函数的定义:

(1)正切:tan A=(tan A>0).

(2)正弦:sin A=(0<sin A<1).

(3)余弦:cos A=(0<cos A<1).

2.锐角三角函数之间的关系:

(1)tan A·tan B=1(∠A+∠B=90°).

(2)sin2A+cos2A=1.

(3)sin A=cos(90°-A).

(4)tan A=.

3.锐角三角函数的增减性:

(1)正切值随角度的增大而增大.

(2)正弦值随角度的增大而增大.

(3)余弦值随角度的增大而减小.

二、锐角三角函数的计算

(1)特殊角的三角函数值:

 (2)利用计算器求三角函数值或求角度.

三、解直角三角形

(1)已知两条边,解直角三角形.

(2)已知一条边和一个锐角,解直角三角形.

(3)构造法:通过作垂线构造出直角三角形.

四、利用三角函数解决实际问题

(1)航海(触礁)问题、坡度问题、仰角和俯角问题等.

(2)测量高度问题、方向角问题、方案设计问题等.

专题一　锐角三角函数的定义

【专题分析】

锐角三角函数是三角学的基础内容,掌握锐角三角函数的有关概念及性质是学习解直角三角形的关键.锐角三角函数的定义是有别于其他数学定义的,需要借助于直角三角形,且与图形的大小无关.

　如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边的中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

〔解析〕　先根据CD是AB边的中线,CD=5求出AB及AD的长,进而可得出△ADC是等腰三角形,故∠A=∠ACD,再根据勾股定理求出AC的长,由锐角三角函数的定义求解即可.

解:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边的中线,CD=5,

∴AD=5,AB=2CD=10,

∴△ADC是等腰三角形,∴∠A=∠ACD.

∵在Rt△ABC中,BC=8,AB=10,

∴AC===6,

∴sin∠ACD=sin A===.

cos∠ACD=cos A===.

tan∠ACD=tan A===.

【针对训练1】　如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.

〔解析〕　由题意得∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,则∠BDE=∠A,就可以转化为求∠A的三角函数值.

解:由题意知△ACB∽△DEB,

∴∠BDE=∠A,

∴sin∠BDE=sin A=,

cos∠BDE=cos A=,

tan∠BDE=tan A=.

　如图所示,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点(每个小正方形的边长为1),则cos∠ABC等于 (　　)

A.  B.

C. D.

〔解析〕　由题意可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边长分别为2,4,∴斜边长为=2,∴cos∠ABC==.故选B.

【针对训练2】　如图所示,△ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上(每个小正方形的边长为1),则sin A的值为              (　　)

A.  B.

C. D.