第一章 直角三角形的边角关系：3大考点+ 10大题型+强化训练（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 教学目标 1. 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能借助计算器进行相关计算。 2. 能运用勾股定理和三角函数解直角三角形，理清边角之间的对应关系。 3. 学会将实际问题转化为直角三角形模型，提升数学建模能力和实际应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）深刻理解锐角三角函数的几何意义，牢记特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形边角之间的内在联系。 （2）能灵活运用三角函数和勾股定理求解直角三角形的边长、角度，解决测量、航海等实际问题。 2.难点 （1）难以从函数角度理解锐角与对应边比值的确定性，不易把握角度变化时三角函数值的增减规律。 （2）实际问题中难以抽象出直角三角形模型，选择合适的三角函数求解时易混淆边角对应关系。 知识点01 锐角三角函数 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2.在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）如图，在中，．，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合定义解答即可． 本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 【详解】解：在中，．， 根据勾股定理，得， 故． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点02 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 【即学即练2】3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角的三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·湖南·三模）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值、特殊角三角函数、零指数幂等知识，掌握这些知识是关键；依次化简算术平方根，计算绝对值、特殊角三角函数、零指数幂，再相加减即可． 【详解】解：原式 ． 知识点03 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （1） 三边之间的关系：a2+b2=c2 （3）边角之间的关系：，， （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练3】5．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，， 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键． 根据三角形面积公式求出，再根据三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ． 题型01 正弦 【典例1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 【变式1】（25-26九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作，交的延长线于点D，则，然后根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点D， 设小方格的边长为1， 则，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 题型02 余弦 【典例2】（25-26九年级上·山东威海·期中）的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴最小角的余弦值是：， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，理解正弦与余弦的含义是关键；由题意得，由，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设（其中x为正数）， 则由勾股定理得， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理及余弦的定义，关键是求出直角三角形中的邻边的值． 先利用勾股定理求出的值，然后利用余弦的定义进行计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 题型03 正切 【典例3】（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，求角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，连接，根据勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】解：取格点，连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中，（）； 故答案为：． 题型04 特殊角度的三角函数值 【典例4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·山东东营·期中）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数，，确定，根据三角形内角和定理计算得出，再求出的值，即可作答． 【详解】解：， ， ， ． ∴， 故答案为： 【变式2】（2025·内蒙古·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值化简，特殊角的三角函数值，解题的关键在于熟练运用各知识点分别化简每一项，注意符号和运算顺序；分别化简各项，代入原式合并同类项计算． 【详解】解： 【变式3】（2025·湖南永州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型05 解直角三角形 【典例5】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论错误，不符合题意； D、，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，， 于，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数等知识点，属于基础题型，在图形中找到的等角是解题的关键．先利用同角的余角相等，证出，再求出的正弦值，即可得出答案． 【详解】解：， ． ． ， ． ． ． ． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·上海·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查解直角三角形等知识．根据，得到，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，． (1)求斜边的长． (2)求边的长． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形． （1）根据，，即可求出，利用三角形的性质即可求解； （2）根据余弦函数的定义列式计算即可求解； （2）根据正切函数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3））解：∵， ∴． 题型06 解非直角三角形 【典例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 题型07 方位角问题 【典例7】（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【答案】(1)米 (2)该小车没有超速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、锐角三角函数，是解题的关键． （1）过点C作直线l的垂线，垂足为D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，求出小汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作直线l的垂线，垂足为D，如图， 则， 由题意可知，，，米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 答：A、B之间的路程为米． （2）解：米千米，5秒小时， （千米/时）． ， 该小车没有超速． 题型08 坡度坡比问题 【典例8】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行65米，求他下降的高度是 米． 【答案】25 【分析】本题考查了坡度，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据坡度定义，设下降的高度为米，则水平距离为米，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为米， ∵坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得（舍去负值）， 故答案为：25． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是 ． 【答案】米 【分析】本题考查了坡度的定义，解题的关键是根据坡度的定义（铅直高度与水平宽度的比）建立比例关系． 根据坡度的定义“坡度”，已知米，代入比例式，计算得的长． 【详解】解：迎水坡的坡度为， 米， 米， 故答案为：米． 【变式3】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 题型09 仰角俯角问题 【典例9】（25-26九年级上·陕西西安·期中）2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点作于点，分别解和，求得和，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意，，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约213米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． 先得到，设，则，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：由题意，，，，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即米， 答：塔的高度约为213米． 题型10 实物图问题 【典例10】（25-26九年级上·广西贵港·期中）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【详解】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为，遮阳篷长为，与水平面的夹角为16°，当太阳光线与地面的夹角为45°时，测得影长为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造合适的直角三角形，利用三角函数求解线段是解题关键． 过点A分别作，的垂线，利用三角函数求出所需的线段长，通过和差计算即可． 【详解】如图，过点A作于点，于点， ∵，， ∴， 由题意，得， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板，为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） (1)如图2，______． (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 【答案】(1)； (2)大约是； (3)能． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 延长交于点，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，再根据邻补角的定义求出的度数； 利用的正弦求出的长度，即为点到靠背的距离； 延长交于点，利用的正切求出的长度约为，再根据，可知，超过了水杯的高度，所以水杯能竖直放在杯托处． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交于点， 则， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示， ，， ， ， ， 点到靠背的距离大约是； （3）解：如下图所示，延长交于点， 则有， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 水杯能竖直放在杯托处． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，则为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理，掌握正弦定义和勾股定理是解题关键． 利用正弦函数的定义求出斜边，再根据勾股定理求． 【详解】∵ ， ，且， ∴ ， ∴， 又∵ 为直角三角形， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴米； 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为 m．（精确到）（参考数据：，，）． 【答案】1.70 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得玲玲的身高为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：玲玲的身高为； 故答案为1.70． 7．（25-26九年级上·北京·课后作业）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和性质．根据绝对值的非负数的性质，得，再根据特殊角三角函数值确定和，最后利用三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 则， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 9．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知a，b，c是的三边，a，b，c满足等式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．根据以及勾股定理逆定理可得是以为斜边的直角三角形，，再设，，可得，然后求出各角的正弦值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形，， ∵， ∴， 设，， ∴， 在直角三角形中，，，． 所以． 故答案为：． 10．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 三、解答题 11．（2025·四川·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂，熟记各运算法则是解题关键．先计算立方根，负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算乘法，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 12．（2024·湖北·模拟预测）塔在古代扮演了多种重要角色，从防御、交通到通信，再到文化和教育的象征，展现了人类智慧和文化的多样性．如图，小明在某公园的处仰望一座塔的塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进5米至处，测得塔顶的仰角为．已知小明眼睛到地面的距离为1.5米，在同一平面内，求该塔的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【答案】13.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设的延长线与交于点，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设的延长线与交于点， 由题意可得，米，米， 在中， ， 在中，， 解得，经检验，符合题意， 米． 答：该塔的高度约为13.3米． 13．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中，． 在中， ，． 答：边的长为． 14．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）“苏州之眼”是坐落于苏州工业园区金鸡湖右岸核心商圈的文旅地标建筑，其128米高度位列亚洲最大水上摩天轮，采用全球第八座回转式太空舱设计，可360度俯瞰金鸡湖全景．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） (1)求摩天轮的最低处到地面的距离的长； (2)求摩天轮圆轮直径的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条边． （1）首先分析图形根据题意构造直角三角形．在中，利用角的三角函数关系可以求得的长； （2）在中，根据角的三角函数可求的长，再减去的长从而得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：， ∴（米）， 摩天轮的最低处到地面的距离的长为米． （2）∵， ∴（米）， ∴（米）， 即摩天轮圆轮直径的长为米． 16．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正弦值，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合等边对等角得，由直角三角形中角的相互转换得到，根据三角形相似的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，设，则，，由正弦的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)C、E两地间的距离为 (2)甲先到达B地 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过E点作交于点F，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解． （2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 是等腰直角三角形， m， 如图，过E点作交于点F， 又， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ． （2）根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ， 甲先到达B地． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章 直角三角形的边角关系 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1锐角三角函数 知识清单 知识点2特殊角度的三角函数值 知识点3解直角三角形 题型1正弦 题型2余弦 第一章直角三角形的边角关系 题型3正切 题型4特殊角度的三角函数值 题型5解直角三角形 题型精讲 题型6解非直角三角形 题型7方位角问题 题型8坡度坡比问题 题型9仰角俯角问题 颗型10实物图问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能借 助计算器进行相关计算。 教学目标 2.能运用勾股定理和三角函数解直角三角形，理清边角之间的对应关系。 3.学会将实际问题转化为直角三角形模型，提升数学建模能力和实际应用能力。 1.重点 (1)深刻理解锐角三角函数的几何意义，牢记特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三 角形边角之间的内在联系。 (2)能灵活运用三角函数和勾股定理求解直角三角形的边长、角度，解决测量、航海 教学重难点 等实际问题。 2.难点 (1)难以从函数角度理解锐角与对应边比值的确定性，不易把握角度变化时三角函数 值的增减规律。 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)实际问题中难以抽象出直角三角形模型，选择合适的三角函数求解时易混淆边角 对应关系。 知识清单 知识点01锐角三角函数 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 2.在Rt△ABC中，∠C=90° (1)正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA. 即sinA=对边=4 斜边c (2)余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA. 邻边b 即cosA=斜边C (3)正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA. 即anA=对边。a 邻边b 斜边 a对边 c 邻边 【即学即练1】1.(25-26九年级上山西吕梁月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,AC=5, 则sinA的值为() A c 2.(25-26九年级上山东烟台·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，若AC=5, 2/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD=7,tan∠ADC=l,则sinB的值为_ 知识点02特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin a √2 2 2 2 5 √2 cosa 2 2 1-2 tan a 3 1 5 【即学即练2】3.(25-26九年级上·重庆沙坪坝期中)计算：tan45°+-8=_ 4.(2025湖南三模)计算：√27+-3-6cos30°-(5-1°. 知识点03解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形. 2.解直角三角形要用到的关系 (1)锐角直角的关系：∠A+∠B=90 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2 邻边b 对边a 3)边角之间的关系：$imA=是=二，c0sA斜边。’A邻边 斜边c (a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边) 【即学即练3】5.（25,26九年级上山东背泽期中)在R84C中，∠C=90,0sB号，BC=6,则 AB的长为一 6.(25-26九年级上山东淄博期中)在Rt△ABC中，LC=90°，b=3，S。c= 5,解这个直角三角形. 2 3/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 e 题型精讲 题型01正弦 【典例1】(25-26九年级上河北唐山期中)己知a为锐角，则sia的值不可能为() A B. 2 2 D.2 【变式1】(25-26九年级上·上海期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,那么sinA的值是() A 2-3 B. C. 3 D. 2 【变式2】(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么siA的值 为 【变式3】(25-26九年级上山东济宁阶段练习)如图，在R△ABC中，∠C=90°，sinA=},BC=4,则 AB= 4/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02余弦 【典例2】(25-26九年级上山东威海期中)ABC的三边长分别为3,2，√5，则ABC中最小角的余弦 值是() A.5 25 2 B. C. D. 5 3 【变式1】(25-26九年级上广东佛山月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD1AC,sinA= 5 则cos∠CBD的值是() 0 B A. B. 4 D. 【变式2】(24-25九年级上·内蒙古呼和浩特阶段练习)在RtA ABC中，∠C=90°，a=2,c=6,则 cos A= 【变式3】(25-26九年级上·上海虹口·期中)如图，在ABC中，AH是BC边上的高，AC=9,BC=4, cosC= ,那么B的长是一 题型03正切 【典例3】(25-26九年级上吉林长春·月考)如图，6个全等的小正方形放置在ABC中，则tanA的值是() 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =-B A.2 B C.3 D 【变式1】(25-26九年级上上海浦东新期中)如图，AD是ABC的中线，AD=5,tan∠BAD=3 S△4Dc=15,则BC的长为() D A.35 B.65 C.210 D.410 【变式2】(25-26九年级上江苏南京·月考)如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A, B,C都在格点上，则tanC的值为_ B 【变式3】(2024广东模拟预测)如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知 AB=6cm,且am∠BFA-子，则折痕AE长是 题型04特殊角度的三角函数值 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(25-26九年级上陕西西安期中)如图，Rt△ABC,∠B=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D ,DE垂直平分AC,交AC于点E,则∠C的正切值为() A.3 B. 2 C.3 D.1 3 2 【变式1】(25-26九年级上山东东营期中)在ABC中，∠C=90°，若cosB=5,则sin4的值 为 【变式2】(2025内蒙古一模)计算：V⑧+22-2c0s45°+V2-2 【变式3】(2025湖南永州三模)计算：(-1)2025+cos245+|-2+(2025-π)°. 题型05解直角三角形 【典例5】(25-26九年级上山东潍坊期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分 别为a,b,c,则() A.a=b·sin A B.b=c·c0sB C.b=a.tan A D.b=a.tan B 【变式1K23-24九年级上江苏苏州阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,AC=2,CD⊥AB 于D,设LACD=a,则sina的值为() D A.2V2 B. √2 3 2 C.22 【变式2】(25-26九年级上·上海期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2,AB=5,那么 AC= 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级上山西晋城期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,cosA= 2 (I)求斜边AB的长 (2)求边AC的长. (3)求tanB的值. 题型06解非直角三角形 【典例6】(22-23九年级上·全国.单元测试)在锐角ABC中，CD是高，如果BC=a,AC=b,那么AB的 长为() A.asin B+bsin A B.a cos B+b cos A C.atan B+btan A D.acotB+bcot A 25九年级上陕西威阳期末)如图，在A8C中，∠ABC=309,anC=了，4B 长为」 B 【变式2】(22-23九年级上陕西西安·月考)如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD, ∠ABD=∠BCD=90°，∠DAB=60°，BC=CD,则tan∠ACD的值为 D 变式3】(23-24九年级上安徽六安月考)如图，在A8C中，LB=30°，simC,AC0 8/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求AB的长； (2)求ABC的面积（结果保留根号）. 题型07方位角问题 【典例7】(25-26九年级上山东济宁期中)某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中 设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A,B点在A点的南偏东25°方向3V2km处， C点在A点的北偏东80°方向，∠ABC=45°.则检查点B和C之间的距离()k 东 180° 25 45 A.2+2V2 B.3+2W2 C.3+V5 D.2+2V5 【变式1】(2024湖北武汉模拟预测)如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的 A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的 距离约为 海里.（参考数据：i如37P},c0s379 行am3* 4 北 *东 B 67o 309 60 A 【变式2】(2025·广东深圳模拟预测)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测 得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75 海里/小时的速度继续航行小时即可到达.（结果保留根号） P M 避风港 北 B 【变式3】(25-26九年级上·四川泸州期中)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小明等三名同学运 用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线1表示成纪 大道.这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒.经测量，点A在点C的北偏西 60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上. 60 (1)求A、B之间的路程（精确到01米）； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米小时的限制速度？（参考数据：√2≈1.414，√5≈1.732） 题型08坡度坡比问题 【典例8】(25-26九年级上河北衡水·期中)如图，某坡度i=1:√3的山坡，己知坡面AB=300米，则该山 坡的高度BC是() A.250米 B.200米 C.150米 D.100米 【变式1】(25-26九年级上山东潍坊·期中)北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目 的学习活动.一位同学乘滑雪板沿坡度为i=1:2.4的斜坡滑行65米，求他下降的高度是米. 【变式2】(25-26九年级上·陕西西安期中)河堤横断面如图所示，堤高BC=2米，迎水坡AB的坡度为 1V3(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是 10/18