湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（理）试题（图片版）

$$ 高三一模数学（理科）参考答案 第 1 页 2019 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D C B A A B C D C 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13．－ 3 2 a＋ 3 1 b 14．1＋ 5 15． 25 72 16．Sn＝（8n－4）3 n＋4 三、解答题（共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得 CA sin3sin2  ，即 CA sin 2 3 sin  ．·········（1 分） 由 CB tan2tan  ，得 BCCB cossin2cossin  ， 两边同加 BC cossin ，得   BCCB cossin3sin  ， 即   BCCACB cossin3sin 2 3 sinsin  ．····························（3分） 由  ,0C ，得 0sin C ，故 2 1 cos B ．································（4 分） 由  ,0B ，得 3  B ．···············································（5 分） （Ⅱ）由 33tan A ，得 14 213 sin, 14 7 cos  AA ， 故 ABC 的面积 14 213 2 1 33  bcS ， 整理得 74bc ．·····················································（9 分） 又由 Abccbaca cos2,32 222  ， 得 4 4 9 222  cbc ，同 74bc 联立， 得 4 112 4 9 2 2 2  c c c ．················································（10 分） 化简整理得 0488165 24  cc ，解得 23,14,22  abc ．·········（11 分） 故 ABC 的周长为 1425  cba ．·······························（12 分） 18．解：（Ⅰ）延长 BA，CD 交于点 E，连接 PE，则 PE平面 PCD．若 AM∥平面 PCD， 由平面 PBE平面 PCD＝PE，AM平面 PBE，则 AM∥PE．由 AD＝ 3 1 BC，AD∥BC， 则 PB PM ＝ EB EA ＝ 3 1 ，故点 M 是线段 PB 上靠近点 P 的一个三等分点．··········（4 分） 高三一模数学（理科）参考答案 第 2 页 （Ⅱ）∵PA⊥AD，PA⊥CD，AD CD＝D，AD平面 ABCD，CD平面 ABCD，则 PA⊥平面 ABCD，以点 A 为坐标原点，以 AD，AP 所在的直线分别为 y 轴、z 轴，过点 A 与 平面 PAD 垂直的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，······················（7 分） 则 P（0，0，2），D（0，1，0），C（t，1，0），B（t，  1 －1，0），则 BC（0，2－  1 ， 0），PC（t，1，－2），CD（－t，0，0） 设平面 PBC 和平面 PCD 的法向量分别为 n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）． 由 n1⊥BC，n1⊥PC 得      0 0 1 1 PC BC n n 即              02 0 1 2 111 1 zytx y  ， 令 x1＝1，则 z1＝ 2 t ，故 n1＝（1，0， 2 t ）．··········（9 分） 同理可求得 n2＝（0，2，1）．························（10 分） 于是 21 21cos nn nn   ，则 10 10 5 2 1 2 2         t t ，解之得 t＝±2（负 值舍去），故 t＝2． ∴CD＝2．····························································（12分） 19．解：（Ⅰ）调整前 y 关于 x 的表达式为 y＝        