专题7 导数计算（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

43 操千曲而后晓声 专题 7 导数计算 1 下 函数的导数： (1)y= cosxsinx- cosx； (2)y= xe 2x2+1. 2 下 函数的导数． (1)f x = -2x+ 1 2； (2)f x = ln 4x- 1 ； (3)f x = 23x+2； (4)f x = 5x+ 4； 3 下 函数的导数： (1)y= 2x3- 3x2+ 5； (2)y= 2 x + 4 x+ 1； (3)y= log2x； (4)y= xnex； (5)y= x 3- 1 sinx ； (6)y= sinx sinx+ cosx． 4 下 函数的导数： (1)y= ( x+ 1) 1 x - 1 ； (2)y= 3lnx+ ax(a> 0,a≠ 1)； (3)y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2  (4)y= ln(2x+ 3) x2+ 1 . 5 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ cosx； (2)y= x+ 1 lnx； (3)y= x- sin x2 cos x 2 ； 6 下 函数的导数． (1)y= x-2+ x2； (2)y= lnx x2+ 1 计算专题训练 7导数计算 44观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 7 下 函数的导数： (1)f(x) = (1+ sinx) (1- x2)； (2)f(x) = x x+ 1 - 3 x. 8 下 函数的导数： (1)y= x2log2(3x); (2)y= cos(2x+ 1) x . 9 下 函数的导数： (1)y= 1+ x1- x + 1 x ； (2)y= xln(2x+ 1)． 10 下 函数的导数： (1)y= ln 2x+ 1  x ； (2)y= ln 2x- 5 ； (3)y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2 ． 11 下 函数的导函数． (1)y= 4x3+ x2- lnx+ 1； (2)y= 4- cosx x2+ 2 ； (3)y= e2x+1sinx． 12 下 函数的导数. (1)y= 1- x  1+ 1 x ；     (2)y= lnx x . 13 下 函数的导数： (1)y= log52x； (2)y= 8x； (3)y= cos2x； (4)y= 2x  4 3． 45 操千曲而后晓声 14 下 函数的导数： (1)y= x8； (2)y= 4x； (3)y= log3x； (4)y= sin x+ π2 ； (5)y= e 2. 15 下 函数的导数. (1)y= x12； (2)y= 1 x4 ； (3)y= 3x； (4)y= lnx； (5)y= cosx. 16 下 函数的导函数 (1)y= x4- 3x2- 5x+ 6； (2)y= x+ 1 x2 ； (3)y= x2cosx； (4)y= tanx 17 下 函数的导函数. (1)f x =-2x3+ 4x2； (2)f x = 13 x 3- x2+ ax+ 1 (3)f(x) = x+ cosx,x∈ (0,1) ； (4)f(x) =-x2+ 3x- lnx (5)y= sinx ； (6)y= x+ 1 x- 1 18 下 函数的导数： (1)y= (2x2- 1) (3x+ 1)； (2)y= excosx； 19 下 函数 指定点处的导数． (1)f x = xπ，x= 1； (2)f x = sinx，x= π2 ． 20 下 函数的导数. (1)y= x12； (2)y= 1 x4 ； (3)y= 3x； (4)y= log5x. 计算专题训练 7导数计算 46观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 21 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ cosx； (2)y= x+ 1 lnx； 22 下 函数的导数. (1)y= 2x2+ 3  3x- 1 ； (2)y= 1- sinx1+ cosx . 23 下 函数的导数. (1)f x = x lnx+ sinx ； (2)f x = 2x+ 1 5 ex . 24 下 函数的导数： (1)f x = sinx x2+ 2x (2)f x = e3xln 2x+ 4  25 下 函数的导数： (1)f x = ln 1+ x2； (2)y= cos 2x+ 1  x . 26 下 函数的导函数. (1)y= 2x2+ 3  3x- 1 ； (2)y= x+ 3 x2+ 3 . 27 下 函数的导数: (1)y= 2x3- 3x2- 4； (2)y= lnx x . 28 下 函数的导数： (1)y= x 3- 1 ex (2)y= ln(5x+ 2) (3)y= cos(2x+ 1) x 47 操千曲而后晓声 29 下 函数的导数. (1)y= lnx+ 1 x ; (2)y= x- sin x2 cos x 2 ； (3)y= cosx ex 30 下 函数的导数： (1)y= x+ 1 x2 ； (2)y= exsinx ； (3)y= xln x2+ 3x ． 31 y= xln x2+ 3x ． 32 y= x+ 1 x2 ； 33 下 函数的导数 (1)y= (x- 2) (3x+ 1)2； (2)y= x 2 cos2x 34 下 函数的导数 (1)f x = 12 x 2- x- 1 x ； (2)f x = ex+ lnx+ sinx 35 下 函数的导数. (1)y= ln(2x+ 1)； (2)y= sinxcosx； (3)y= xln 1+ x2 ； (4)y= (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3). 36 下 函数的导函数． (1)f x = x4+ lnx； (2)f x = sinxx - cosx； (3)f x = e 2x-1． 计算专题训练 7导数计算 48观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 37 下 函数的导数. (1)y= x+ x 5+ sinx x2 ； (2)y= x+ 1 x+ 2 x+ 3 ； (3)y= 11- x + 1 1+ x . 38 下 函数的导数： (1)y= x- 1 x3- 1 ； (2)y= sin3x； (3)y= x 2+ 1 ex ． 39 下 函数的导数： (1)y= sinx+ tanx x∈ 0, π2  ； (2)y= ln 3x 2+ 5 ． 40 下 函数的导数： (1)y= x+ 1 x2 ； (2)y= xln x2+ 3x ． 41 下 函数的导数． (1)f x = lnx+ 2 x x2 ； (2)f x = ln 4x+ 5 3． 42 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ 2x+ 1 cosx； (2)y= 3x 2+ x x- 5 x+ 1 x ； (3)y= x18+ sinx- lnx； (4)y= 2xcosx- 3xlog3x； (5)y= 3xsinx- 3log3x； (6)y= excosx+ tanx． 43 下 函数的导数： (1)y= e-ax 2+bx； (2)y= 2sin(1- 3x)； (3)y= 3 cos 2x+ x ； (4)y= ln 1+ sinx； (5)y= lg sin x2 + x 2  ； (6)y= cos2 1+ x 2 ex ． 49 操千曲而后晓声 44 下 函数的导数. (1)y= x+ 1 ln 2x ； (2)y= e 2x+1 x . 45 下 函数的导数． (1)y= x- 1 x+ 1 + x+ 1 x- 1 (2)y= e-2x+1 x- 1 6 46 下 函数的导数. (1)y= 2x5- 3x2- 4； (2)y= e x sinx . 47 下 函数的导数： (1)y= x2sinx； (2)y= lnx+ 1 x ； (3)y= x ⋅ tanx； (4)y= x+ 1 x+ 2 x+ 3 ； (5)y= 2x2+ 3  3x- 2 ； (6)y= cosxex ． 计算专题训练 7导数计算 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 专题 7 导数计算 1 下 函数的导数： (1)y= cosxsinx- cosx； (2)y= xe 2x2+1. 【答案】(1) - 1 sinx- cosx 2 ；(2) 4x2+ 1 e2x 2+1 【解析】(1)y= -sinx sinx- cosx - cosx+ sinx cosx sinx- cosx 2 =- 1 sinx- cosx 2 ； (2)y= e2x 2+1+ x 2x2+ 1 e2x 2+1= 4x2+ 1 e2x 2+1. 2 下 函数的导数． (1)f x = -2x+ 1 2； (2)f x = ln 4x- 1 ； (3)f x = 23x+2； (4)f x = 5x+ 4； 【答案】(1)8x- 4(2) 44x- 1 (3)3× 2 3x+2ln2(4) 5 2 5x+ 4 【解析】(1)因为 f x = -2x+ 1 2= 4x2- 4x+ 1，所以 f x = 8x- 4. (2)因为 f x = ln 4x- 1 ，所以 f x = 44x- 1 . (3)因为 f x = 23x+2，所以 f x = 3× 23x+2ln2 (4)因为 f x = 5x+ 4，所以 f x = 12 5 5x+ 4 = 5 2 5x+ 4 3 下 函数的导数： (1)y= 2x3- 3x2+ 5； (2)y= 2 x + 4 x+ 1 ； (3)y= log2x； (4)y= xnex； (5)y= x 3- 1 sinx ； (6)y= sinx sinx+ cosx． 【答案】(1)6x2- 6x(2) - 2x-2- 4 x+ 1 -2(3) 1 xln2 (4)x n-1ex n+ x (5) 3x2sinx- x3- 1 cosx sin2x (6) 1 1+ sin2x 【解析】(1)y= 2x3 - 3x2 + 5= 6x2- 6x. (2)y= 2 x  + 4 x+ 1  = -2 x2 + -4 x+ 1 2 =-2x-2- 4 x+ 1 -2. (3)y= log2x = 1xln2 . (4)y= xn ex+ xn ex = nxn-1ex+ xnex= xn-1ex n+ x . (5)y= x 3- 1 sinx   = x3- 1 sinx- x3- 1  sinx  sinx 2 = 3x2sinx- x3- 1 cosx sin2x . (6)y= sinxsinx+ cosx  = sinx  sinx+ cosx - sinx sinx+ cosx  sinx+ cosx 2 = cosx sinx+ cosx - sinx cosx- sinx  sinx+ cosx 2 = 1 sinx+ cosx 2 = 11+ sin2x． 4 下 函数的导数： (1)y= ( x+ 1) 1 x - 1 ； (2)y= 3lnx+ ax(a> 0,a≠ 1)； 第 72页 共 131页 专业专心 专注 (3)y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2  (4)y= ln(2x+ 3) x2+ 1 . 【答案】(1)y=- 1 2 x 1+ 1 x ； (2)y = 3 x + axlna(a> 0且 a≠ 1)； (3)y=- 12 sin4x- 2xcos4x； (4)y = 2 x2+ 1 - 2x(2x+ 3)ln(2x+ 3) (2x+ 3) x2+ 1 2 【解析】(1) ∵ y= ( x+ 1) 1 x - 1 = x ⋅ 1x - x+ 1 x - 1=- x+ 1 x ， ∴ y= - x+ 1 x  =- 1 2 x + - 12 x x =- 1 2 x 1+ 1 x . (2)y= 3lnx+ ax = 3x + a xlna(a> 0,a≠ 1). (3) ∵ y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2 = 1 2 xsin(4x+ π) =- 1 2 xsin4x， ∴ y=- 12 sin4x- 1 2 x ⋅ 4cos4x=- 1 2 sin4x- 2xcos4x. (4)y= [ln(2x+ 3)] x2+ 1 - ln(2x+ 3) x2+ 1  x2+ 1 2 = (2x+ 3) 2x+ 3 ⋅ x 2+ 1 - 2xln(2x+ 3) x2+ 1 2 = 2 x2+ 1 - 2x(2x+ 3)ln(2x+ 3) (2x+ 3) x2+ 1 2 . 5 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ cosx； (2)y= x+ 1 lnx； (3)y= x- sin x2 cos x 2 ； 【答案】(1)y= 6x- sinx；(2)y= lnx+ x+ 1 x ；(3)y= 1- 12 cosx. 【解析】(1)因为 y= 3x2+ cosx，所以 y= 6x- sinx； (2)因为 y= x+ 1 lnx，所以 y= lnx+ x+ 1x ； (3)因为 y= x- sin x2 cos x 2 = x- 1 2 sinx，所以 y = 1- 12 cosx； 6 下 函数的导数． (1)y= x-2+ x2； (2)y= lnx x2+ 1 【答案】(1)y= 2x- 2x-3；(2)y= x 1- 2lnx + 1x x2+ 1 2 【解析】(1)y= 2x- 2x-3； (2)y= lnx  x2+ 1 - lnx x2+ 1  x2+ 1 2 = x+ 1x - 2xlnx x2+ 1 2 = x- 2xlnx+ 1x x2+ 1 2 = x 1- 2lnx + 1x x2+ 1 2 . 7 下 函数的导数： (1)f(x) = (1+ sinx) (1- x2)； (2)f(x) = x x+ 1 - 3 x. 【答案】(1)cosx 1- x2 - 2x(1+ sinx)；(2) 1(x+ 1)2 - 3xln3. 计算专题训练 7 导数计算 第 73页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】(1)f(x) = (1+ sinx)(1- x2) + (1+ sinx) (1- x2)= cosx(1- x2) + (1+ sinx) (-2x) = cosx 1- x2 - 2x(1+ sinx) (2)f(x) = x x+ 1  - (3x)= (x) (x+ 1) - x(x+ 1) (x+ 1)2 - 3xln3= 1 (x+ 1)2 - 3xln3. 8 下 函数的导数： (1)y= x2log2(3x); (2)y= cos(2x+ 1) x . 【答案】(1)y= 2xlog2(3x) + xln2 .(2)y = -2xsin 2x+ 1 - cos(2x+ 1) x2 . 【解析】(1)y= (x2)log2(3x) + x2 log2(3x) = 2xlog2(3x) + x2 33xln2 = 2xlog2(3x) + x ln2 . (2)y= cos(2x+ 1) x- cos(2x+ 1)x x2 = -2xsin 2x+ 1 - cos(2x+ 1) x2 . 9 下 函数的导数： (1)y= 1+ x1- x + 1 x ； (2)y= xln(2x+ 1)． 【答案】(1)y= x 2+ 2x- 1 x2(x- 1)2 (2)y= ln(2x+ 1) + 2x2x+ 1 ． 【解析】(1)y= (1- x) - (1+ x) × (-1) (1- x)2 - 1 x2 = 2 (1- x)2 - 1 x2 = x 2+ 2x- 1 x2(x- 1)2 ； (2)y= ln(2x+ 1) + x ⋅ 12x+ 1 ⋅ 2= ln(2x+ 1) + 2x 2x+ 1 ． 10 下 函数的导数： (1)y= ln 2x+ 1  x ； (2)y= ln 2x- 5 ； (3)y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2 ． 【答案】(1)y= 2x- 2x+ 1 ln 2x+ 1  2x+ 1 x2 (2)y= 22x- 5 (3)y =- 12 sin4x- 2xcos4x 【解析】(1)y= ln 2x+ 1  x        = ln 2x+ 1  x- xln 2x+ 1  x2 = 2x+ 1  2x+ 1 ⋅ x- ln 2x+ 1  x2 = 2x 2x+ 1 - ln 2x+ 1  x2 = 2x- 2x+ 1 ln 2x+ 1  2x+ 1 x2 ． (2)令 u= 2x- 5，y= lnu，则 y= lnu  ⋅ u= 1u ⋅ 2= 1 2x- 5 ⋅ 2= 2 2x- 5 ． (3)因为 y= xsin 2x+ π2 cos 2x+ π 2 = 1 2 xsin 4x+ π =- 1 2 xsin4x， 所以 y= - 12 x  sin4x+ - 12 x  sin4x  =- 12 sin4x- 1 2 x ⋅ 4cos4x=- 1 2 sin4x- 2xcos4x． 11 下 函数的导函数． (1)y= 4x3+ x2- lnx+ 1； (2)y= 4- cosx x2+ 2 ； (3)y= e2x+1sinx． 【答案】(1)12x2+ 2x- 1 x (2) x2+ 2 sinx+ 2xcosx- 8x x2+ 2 2 (3) 2sinx+ cosx e2x+1 【解析】(1)y= 12x2+ 2x- 1 x ； (2)y= sinx x2+ 2 - 2x 4- cosx  x2+ 2 2 = x2+ 2 sinx+ 2xcosx- 8x x2+ 2 2 ； (3)y= 2e2x+1sinx+ e2x+1cosx= 2sinx+ cosx e2x+1 . 第 74页 共 131页 专业专心 专注 12 下 函数的导数. (1)y= 1- x  1+ 1 x ；     (2)y= lnx x . 【答案】(1)y=- x (x+ 1) 2x2 ，(2)y= 1- lnx x2 【解析】解：(1)因为 y= 1- x  1+ 1 x = 1+ 1 x - x- 1= x - 12 - x 1 2， 所以 y=- 12 x - 32 - 12 x - 12 =- 12 ⋅ 1 x x - 12 ⋅ 1 x =- x (x+ 1) 2x2 ， (2)由 y= lnx x ，得 y= 1- lnx x2 13 下 函数的导数： (1)y= log52x； (2)y= 8x； (3)y= cos2x； (4)y= 2x  4 3． 【答案】(1)y= 1 xln5 (2)y = 8xln8(3)y=-2sin2x(4)y= 2 10 3 3 x 1 3 【解析】(1) ∵ log52x= log52+ log5x∴ y= 1xln5 (2)y = 8xln8(3)令 t= 2x,则 y= cost ∴ yx= yt ⋅ tx⇒ cos2x = cost  ⋅ 2x =-sint× 2=-2sin2x，故 y=-2sin2x (4) ∵ y= 2x  4 3 = 2 4 3 ⋅ x 4 3   ∴ y= 2 4 3 × 43 x 4 3-1= 2 10 3 3 x 1 3 14 下 函数的导数： (1)y= x8； (2)y= 4x； (3)y= log3x； (4)y= sin x+ π2 ； (5)y= e 2. 【答案】(1)y= 8x7；(2)y= 4x ⋅ ln4；(3)y= 1 x ⋅ ln3 ；(4)y =-sinx；(5)y= 0. 【解析】(1)y= x8,y= 8x7；(2)y= 4x，y= 4x ⋅ ln4；(3)y= log3x,y= 1x ⋅ ln3 ； (4)y= sin x+ π2 = cosx，y =-sinx；(5)y= e2，y= 0. 15 下 函数的导数. (1)y= x12； (2)y= 1 x4 ； (3)y= 3x； (4)y= lnx； (5)y= cosx. 【答案】(1)y= 12x11(2)y=- 4 x5 (3)y= 3xln3(4)y= 1 x (5)y=-sinx 【解析】(1)y= x12 = 12x11(2)y= 1 x4   = x-4 =-4x-5=- 4 x5 (3)y= 3x = 3xln3(4)y= lnx = 1x (5)y = cosx =-sinx 16 下 函数的导函数 (1)y= x4- 3x2- 5x+ 6； (2)y= x+ 1 x2 ； (3)y= x2cosx； (4)y= tanx 【答案】(1)y= 4x3- 6x- 5；(2)y= 1- 2 x3 ；(3)y= 2xcosx- x2sinx；(4)y= 1 cos2x 【解析】(1)由 y= x4- 3x2- 5x+ 6，则 y= 4x3- 6x- 5； (2)由 y= x+ 1 x2 ，则 y= 1- 2 x3 ； 计算专题训练 7 导数计算 第 75页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (3)由 y= x2cosx，则 y= 2xcosx- x2sinx； (4)由 y= tanx= sinxcosx，则 y = cos 2x+ sin2x cos2x = 1 cos2x . 17 下 函数的导函数. (1)f x =-2x3+ 4x2； (2)f x = 13 x 3- x2+ ax+ 1 (3)f(x) = x+ cosx,x∈ (0,1) ； (4)f(x) =-x2+ 3x- lnx (5)y= sinx ； (6)y= x+ 1 x- 1 【答案】(1)f(x) =-6x2+ 8x    (2)f(x) = x2- 2x+ a     (3)f(x) =-sinx+ 1     (4)f(x) =-2x- 1 x + 3    (5)y= cosx    (6)y=- 2 (x- 1)2 【解析】解：(1)由 f x =-2x3+ 4x2，则 f x =-6x2+ 8x； (2)由 f x = 13 x 3- x2+ ax+ 1，则 f x = x2- 2x+ a； (3)由 f(x) = x+ cosx,x∈ (0,1) ，则 f(x) = 1- sinx,x∈ (0,1)； (4)由 f(x) =-x2+ 3x- lnx，则 f(x) =-2x+ 3- 1 x ； (5)由 y= sinx，则 y= cosx； (6)由 y= x+ 1 x- 1 ，则 y = (x+ 1) × (x- 1) - (x+ 1) × (x- 1) (x- 1)2 =- 2 (x- 1)2 . 18 下 函数的导数： (1)y= (2x2- 1) (3x+ 1)； (2)y= excosx； 【答案】(1)y′ = 18x2+ 4x- 3；(2)y′ = ex(cosx- sinx). 【解析】(1)y= (2x2- 1)(3x+ 1) + (2x2- 1) (3x+ 1)= 4x(3x+ 1) + 3(2x2- 1) = 18x2+ 4x- 3， (2)y= (ex)cosx+ ex(cosx)= excosx- exsinx= ex(cosx- sinx). 19 下 函数 指定点处的导数． (1)f x = xπ，x= 1； (2)f x = sinx，x= π2 ． 【答案】(1)π(2)0 【解析】(1)解：因为 f x = xπ，所以 f x = πxπ-1，所以 f 1 = π. (2)解：因为 f x = sinx，所以 f x = cosx，所以 f π2 = cos π 2 = 0. 20 下 函数的导数. (1)y= x12； (2)y= 1 x4 ； (3)y= 3x； (4)y= log5x. 【答案】(1)y= 12x11(2)y=- 4 x5 (3)y= 3xln3(4)y= 1 xln5 【解析】(1)y= x12，则 y= 12x11 (2)y= 1 x4 = x-4，则 y=-4x-4-1=- 4 x5 (3)y= 3x，则 y= 3xln3 (4)y= log5x，则 y= 1xln5 21 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ cosx； (2)y= x+ 1 lnx； 【答案】(1)y= 6x- sinx；(2)y= lnx+ 1 x + 1 第 76页 共 131页 专业专心 专注 【解析】解：(1)因为 y= 3x2+ cosx 所以 y= 3 x2 + cosx = 6x- sinx，即 y= 6x- sinx (2)因为 y= x+ 1 lnx 所以 y= x+ 1 lnx+ x+ 1  lnx = lnx+ x+ 1 ⋅ 1x = lnx+ 1 x + 1，即 y= lnx+ 1 x + 1 22 下 函数的导数. (1)y= 2x2+ 3  3x- 1 ； (2)y= 1- sinx1+ cosx . 【答案】(1)y= 18x2- 4x+ 9(2)y= -1- cosx+ sinx (1+ cosx)2 【解析】(1)解：因为 y= 6x3- 2x2+ 9x- 3， 所以 y= 18x2- 4x+ 9 (2)y= -cosx(1+ cosx) - 1- sinx -sinx  (1+ cosx)2 ， = -1- cosx+ sinx (1+ cosx)2 . 23 下 函数的导数. (1)f x = x lnx+ sinx ； (2)f x = 2x+ 1 5 ex . 【答案】(1)f x = lnx+ sinx+ xcosx+ 1(2)f x = 2x+ 1 4 9- 2x  ex 【解析】(1)f x = x lnx+ sinx + x lnx+ sinx = lnx+ sinx+ x 1x + cosx = lnx+ sinx+ xcosx+ 1. (2)f x = 5ex 2x+ 1 4 2x+ 1 - 2x+ 1 5ex e2x = 10 2x+ 1 4- 2x+ 1 5 ex = 2x+ 1 4 10- 2x- 1  ex = 2x+ 1 4 9- 2x  ex . 24 下 函数的导数： (1)f x = sinx x2+ 2x (2)f x = e3xln 2x+ 4  【答案】(1)f x = cosx x2+ 2x - sinx 2x+ 2  x2+ 2x 2 (2)f x = 3e3xln 2x+ 4 + e 3x x+ 2 【解析】(1)f x = sinx x2+ 2x ，f x = cosx x2+ 2x - sinx 2x+ 2  x2+ 2x 2 (2)f x = e3xln 2x+ 4 ，f x = 3e3xln 2x+ 4 + e3x 22x+ 4 = 3e 3xln 2x+ 4 + e 3x x+ 2 . 25 下 函数的导数： (1)f x = ln 1+ x2 ； (2)y= cos 2x+ 1  x . 【答案】(1) x 1+ x2 (2) -2xsin 2x+ 1 - cos 2x+ 1  x2 (2)求商的导数， f(x) g(x)        = f (x)g(x) - f(x)g(x) g(x) 2 ，由复合函数的的导数得 cos(2x+ 1) =-sin(2x+ 1) ∙ (2x+ 1)=-2sin(2x+ 1). 【解析】(1)因为 f x = ln 1+ x2 ， 计算专题训练 7 导数计算 第 77页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 所以 f x = ( 1+ x2 ) 1+ x2 = 1 2 1+ x 2  - 12 ⋅ 2x 1+ x2 = x 1+ x2 . (2)f x = cos 2x+ 1  x- cos 2x+ 1 x x2 = -2xsin 2x+ 1 - cos(2x+ 1) x2 . 26 下 函数的导函数. (1)y= 2x2+ 3  3x- 1 ； (2)y= x+ 3 x2+ 3 . 【答案】(1)18x2- 4x+ 9(2) -x 2- 6x+ 3 x2+ 3 2 【解析】(1) ∵ y= 2x2+ 3  3x- 1 ， ∴ y= 2x2+ 3  3x- 1 + 2x2+ 3  3x- 1 = 4x 3x- 1 + 3 2x2+ 3 = 18x2- 4x+ 9； (2) ∵ y= x+ 3 x2+ 3 ， ∴ y= x+ 3  x2+ 3 - x+ 3 x2+ 3  x2+ 3 2 = x2+ 3 - 2x x+ 3  x2+ 3 2 = -x 2- 6x+ 3 x2+ 3 2 . 27 下 函数的导数: (1)y= 2x3- 3x2- 4； (2)y= lnx x . 【答案】(1)6x2- 6x(2) 1- lnx x2 【解析】(1)y= (2x3)- (3x2)- (4)= 6x2- 6x (2)y= lnx  ⋅ x- lnx ⋅ (x) x2 = 1 x ⋅ x- lnx x2 = 1- lnx x2 28 下 函数的导数： (1)y= x 3- 1 ex (2)y= ln(5x+ 2) (3)y= cos(2x+ 1) x 【答案】(1)y= -x 3+ 3x2+ 1 ex (2)y= 55x+ 2 (3)y =- 2xsin(2x+ 1) + cos(2x+ 1) x2 【解析】(1) ∵ y= x 3- 1 ex     ，则 y= x3- 1 ex- x3- 1  ex  ex 2 = -x3+ 3x2+ 1 ex ex 2 = -x 3+ 3x2+ 1 ex ， 故 y= -x 3+ 3x2+ 1 ex . (2)设 u= 5x+ 2，则 yu= lnu,u= 5x+ 2， 则 y= yu  u = lnu  5x+ 2 = 1u × 5= 5 5x+ 2 ， 故 y= 55x+ 2 . (3) ∵ y= cos(2x+ 1) x ，则 y= cos(2x+ 1)  ⋅ x- cos 2x+ 1  ⋅ x x2 = -2xsin(2x+ 1) - cos(2x+ 1) x2 = - 2xsin(2x+ 1) + cos(2x+ 1) x2 ， 故 y=- 2xsin(2x+ 1) + cos(2x+ 1) x2 . 29 下 函数的导数. 第 78页 共 131页 专业专心 专注 (1)y= lnx+ 1 x ; (2)y= x- sin x2 cos x 2 ； (3)y= cosx ex 【答案】(1)y= 1 x - 1 x2 .(2)y= 1- 12 cosx(3)y =- sinx+ cosx ex . 【解析】(1)y= (lnx)2+ 1 x  = 1 x - 1 x2 ； (2)由已知 y= x- 12 sinx，所以 y = 1- 12 cosx； (3)y= (cosx) ex- cosx(ex) (ex)2 = -sinx ⋅ e x- cosx ⋅ ex e2x =- sinx+ cosx ex ． 30 下 函数的导数： (1)y= x+ 1 x2 ； (2)y= exsinx ； (3)y= xln x2+ 3x ． 【答案】(1)y= 1- 2x-3(2)y= ex sinx+ cosx (3)y= ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 【解析】(1)解：y= 1+ -2 ⋅ x-3= 1- 2x-3 (2)解：y= ex sinx+ ex sinx = exsinx+ excosx= ex sinx+ cosx  (3)解：y= (x)ln x2+ 3x + x ln x2+ 3x  = ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 . 31 y= xln x2+ 3x ． 【答案】y= ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 【解析】y= xln x2+ 3x + x ln x2+ 3x   = ln x2+ 3x + x ⋅ 1 x2+ 3x ⋅ 2x+ 3 = ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 . 32 y= x+ 1 x2 ； 【答案】y= 1- 2x-3 【解析】y= x+ 1 x2 = x+ x-2，y= x+ x-2 = 1- 2x-3. 33 下 函数的导数 (1)y= (x- 2) (3x+ 1)2； (2)y= x 2 cos2x 【答案】(1)y= 27x2- 24x- 11(2)y= 2xcos(2x) + 2x 2sin(2x) (cos2x)2 【解析】(1)因为 y= (x- 2) (3x+ 1)2= (x- 2) (9x2+ 6x+ 1) = 9x3- 12x2- 11x- 2， 所以 y= 9 x3 - 12 x2 - 11 x = 27x2- 24x- 11 (2)y= x 2 cos2x   = (x 2)cos2x- x2(cos2x) (cos2x)2 = 2xcos2x- x 2(-2sin2x) (cos2x)2 = 2xcos(2x) + 2x 2sin(2x) (cos2x)2 34 下 函数的导数 (1)f x = 12 x 2- x- 1 x ； (2)f x = ex+ lnx+ sinx 【答案】(1)f x = x 3- x2+ 1 x2 ；(2)f x = ex+ 1x + cosx 【解析】(1)解：因为 f x = 12 x 2- x- 1 x ，则 f x = x- 1+ 1 x2 = x 3- x2+ 1 x2 . 计算专题训练 7 导数计算 第 79页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (2)解：因为 f x = ex+ lnx+ sinx，则 f x = ex+ 1x + cosx. 35 下 函数的导数. (1)y= ln(2x+ 1)； (2)y= sinxcosx； (3)y= xln 1+ x2 ； (4)y= (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3). 【答案】(1)y= 22x+ 1 ；(2)y = 1 cos2x ；(3)y= ln 1+ x2 + 2x 2 1+ x2 ；(4)y= 3x2+ 12x+ 11. 【解析】(1)函数 y= ln(2x+ 1)，所以 y= 12x+ 1 ⋅ 2x+ 1  = 22x+ 1 . (2)函数 y= sinxcosx，所以 y = sinx cosx- sinx cosx  cos2x = cos 2x+ sin2x cos2x = 1 cos2x . (3)函数 y= xln(1+ x2)，所以 y= ln(1+ x2) + x ⋅ 1 1+ x2 ⋅ (1+ x2)= ln(1+ x2) + 2x 2 1+ x2 . (4)依题意，y= (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) = x3+ 6x2+ 11x+ 6，所以 y= 3x2+ 12x+ 11. 36 下 函数的导函数． (1)f x = x4+ lnx； (2)f x = sinxx - cosx； (3)f x = e 2x-1． 【答案】(1)f(x) = 4x3+ 1 x ；(2)f x = xcosx- sinx x2 + sinx；(3)f(x) = 2e2x-1. 【解析】(1)f(x) = 4x3+ 1 x ；(2)f x = xcosx- sinx x2 + sinx.(3)f(x) = e2x-1 ⋅ (2x- 1)= 2e2x-1. 37 下 函数的导数. (1)y= x+ x 5+ sinx x2 ； (2)y= x+ 1 x+ 2 x+ 3 ； (3)y= 11- x + 1 1+ x . 【答案】(1)y=- 32 x - 52 + 3x2- 2x-3sinx+ x-2cosx；(2)y= 3x2+ 12x+ 11；(3)y= 2 1- x 2 【解析】(1) ∵ y= x 1 2 + x5+ sinx x2 = x - 32 + x3+ sinx x2 ∴ y= x - 32 + x3 + x-2sinx  =- 32 x - 52 + 3x2- 2x-3sinx+ x-2cosx. (2) ∵ y= x2+ 3x+ 2 x+ 3 = x3+ 6x2+ 11x+ 6，∴ y= 3x2+ 12x+ 11. (3) ∵ y= 1 1- x + 1 1+ x = 1+ x+ 1- x 1- x  1+ x  = 21- x ∴ y= 21- x  = -2× -1  1- x 2 = 2 1- x 2 . 38 下 函数的导数： (1)y= x- 1 x3- 1 ； (2)y= sin3x； (3)y= x 2+ 1 ex ． 【答案】(1)y= 4x3- 3x2- 1；(2)y= 3cos3x；(3)y=- x 2- 2x+ 1 ex 【解析】(1)y= x- 1  x3- 1 + x- 1 x3- 1 = x3- 1 + 3x2 x- 1 = 4x3- 3x2- 1； (2)令 u= 3x，则 y= sinu，所以 y= 3x  ⋅ sinu = 3cosu= 3cos3x； (3)y= x2+ 1 ex- x2+ 1  ex  ex 2 = 2xex- x2+ 1 ex ex 2 =- x 2- 2x+ 1 ex ． 39 下 函数的导数： (1)y= sinx+ tanx x∈ 0, π2  ； (2)y= ln 3x 2+ 5 ． 第 80页 共 131页 专业专心 专注 【答案】(1)y= cosx+ 1 cos2x ,x∈ 0, π2 ；(2)y = 3x2+ 5  3x2+ 5 = 6x 3x2+ 5 【解析】(1)y= sinx+ tanx x∈ 0, π2   y= sinx + sinxcosx  = cosx+ cosx ⋅ cosx- sinx ⋅ -sinx  cosx 2 = cosx+ 1 cos2x ,x∈ 0, π2  (2)y= ln 3x2+ 5 y= 3x2+ 5  3x2+ 5 = 6x 3x2+ 5 40 下 函数的导数： (1)y= x+ 1 x2 ； (2)y= xln x2+ 3x ． 【答案】(1)y= 1- 2x-3(2)ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 【解析】(1)解：y= 1+ -2 ⋅ x-3= 1- 2x-3； (2)y= (x)ln x2+ 3x + x ln x2+ 3x  = ln x2+ 3x + 2x+ 3x+ 3 . 41 下 函数的导数． (1)f x = lnx+ 2 x x2 ； (2)f x = ln 4x+ 5 3． 【答案】(1) 1- 2lnx+ xln2- 2 2x x3 ；(2) 124x+ 5 【解析】(1)函数 f x = lnx+ 2 x x2 的定义域为 0，+∞ . 所以 f x = lnx+ 2x x2- x2  lnx+ 2x  x2 2 = 1- 2lnx+ xln2- 2 2x x3 (2)函数 f x = ln 4x+ 5 3= 3ln 4x+ 5 的定义域为 - 54 ，+∞ . 所以 f x = 3 4x+ 5  4x+ 5 = 12 4x+ 5 42 下 函数的导数： (1)y= 3x2+ 2x+ 1 cosx； (2)y= 3x 2+ x x- 5 x+ 1 x ； (3)y= x18+ sinx- lnx； (4)y= 2xcosx- 3xlog3x； (5)y= 3xsinx- 3log3x； (6)y= excosx+ tanx． 【答案】(1) (6x+ 2)cosx- 3x2+ 2x+ 1 sinx；(2) 92 x 1 2 - 12 x - 32 + 1； (3)18x17+ cosx- 1 x ；(4) 2xln2 cosx- 2xsinx- 3log3x- 3log3e； (5) 3xln3 sinx+ 3xcosx- 1x ⋅ 3log3e；(6)e xcosx- exsinx+ 1 cos2x . 【解析】(1)y= 3x2+ 2x+ 1 cosx+ 3x2+ 2x+ 1 ⋅ cosx = (6x+ 2)cosx- 3x2+ 2x+ 1 sinx. (2)y= 3x 2+ x x- 5 x+ 1 x = 3x 3 2 + x- 5+ x - 12，所以 y= 3× 32 ⋅ x 1 2 + 1- 12 ⋅ x - 32 = 92 x 1 2 - 12 x - 32 + 1. (3)y= 18x17+ cosx- 1 x . (4)y= 2x cosx+ 2x cosx - 3 x log3x+ x log3x  = 2xln2 cosx- 2xsinx- 3log3x- 3log3e. (5)y= 3x sinx+ 3x sinx - 3 ⋅ 1 xln3 = 3 xln3 sinx+ 3xcosx- 1x ⋅ 3log3e. (6)y= excosx+ tanx= excosx+ sinxcosx， 计算专题训练 7 导数计算 第 81页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 故 y= ex cosx+ ex ⋅ cosx + sinx cosx- cosx sinx cos2x = excosx- exsinx+ 1 cos2x . 43 下 函数的导数： (1)y= e-ax 2+bx； (2)y= 2sin(1- 3x)； (3)y= 3 cos 2x+ x ； (4)y= ln 1+ sinx； (5)y= lg sin x2 + x 2  ； (6)y= cos2 1+ x 2 ex ． 【答案】(1) (-2ax+ b)e-ax 2+bx(2) - 6cos(1- 3x) (3) - 13 cos - 23 2x+ x ⋅ sin 2x+ x ⋅ 2xln2+ 1  (4) cosx 2(1+ sinx) (5) 1 2 + 2x ⋅ cos x2 + x 2  sin x2 + x 2  ⋅ lge(6) (x- 1) 2 ex sin2 1+ x 2 ex  【解析】(1)因为函数 y= e-ax 2+bx可以看做函数 y= eu和 u=-ax2+ bx的复合函数， 根据复合函数求导公式可得，yx= yu ⋅ ux= eu  ⋅ -ax2+ bx = eu× -2ax+ b  = (-2ax+ b)e-ax 2+bx； (2)因为函数 y= 2sin(1- 3x)可以看做函数 y= 2sinμ和 u= 1- 3x的复合函数， 根据复合函数求导公式可得， yx= yu ⋅ ux = 2sinμ  ⋅ 1- 3x  = 2cosμ× -3  =-6cos(1- 3x)； (3)因为函数 y= 3 cos 2x+ x 可以看做函数 y= 3 u和 u= cos 2x+ x 的复合函数， 根据复合函数求导公式可得，yx= yu ⋅ ux， 又因为函数 u= cos 2x+ x 可以看做函数 μ= cost和 t= 2x+ x的复合函数， 根据复合函数求导公式可得， μx= μt ⋅ tx 所以 yx= yu ⋅ ut ⋅ tx = 3 μ  ⋅ cost  ⋅ 2x+ x  = 13 μ - 23 × -sint × 2xln2+ 1  = 13 cos - 23 2x+ x -sin 2x+ x  × 2xln2+ 1  =- 13 cos - 23 2x+ x ⋅ sin 2x+ x ⋅ 2xln2+ 1 ； (4)函数 y= ln 1+ sinx可化为 y= 12 ln 1+ sinx  因为函数 y= 12 ln 1+ sinx 可以看做函数 y= 1 2 lnμ和 u= 1+ sinx的复合函数， 根据复合函数求导公式可得，yx= yu ⋅ ux， 所以 yx= yu ⋅ ux = 12 lnμ   ⋅ 1+ sinx  = 12μ × cosx = cosx 2(1+ sinx)； (5)因为函数 y= lg sin x2 + x 2  可以看做函数 y= lgu和 u= sin x2 + x 2 的复合函数， 第 82页 共 131页 专业专心 专注 根据复合函数求导公式可得，yx= yu ⋅ ux， 又因为函数 u= sin x2 + x 2 可以看做函数 μ= sint和 t= x2 + x 2的复合函数， 根据复合函数求导公式可得， μx= μt ⋅ tx 所以 yx= yu ⋅ ut ⋅ tx = lgμ  ⋅ sint  ⋅ x2 + x 2  = 1 μln10 × cost × 1 2 + 2x  = 12 + 2x ⋅ cos x2 + x 2  sin x2 + x 2  ⋅ lge； (6)函数 y= cos2 1+ x 2 ex 可化为 y= 1+ cos2 1+ x 2 ex  2 ， 因为函数 y= 1+ cos 2+ 2x 2 ex  2 可以看做函数 y= 1+ cosμ 2 和 u= 2+ 2x2 ex 的复合函数， 根据复合函数求导公式可得，yx= yu ⋅ ux， 所以 yx= yu ⋅ ux = 1+ cosμ2   2+ 2x2 ex   =- 12 sinμ ⋅ 4xex- ex 2+ 2x2  e2x       =- 12 sinμ ⋅ -2x2+ 4x- 2 ex  = (x- 1) 2 ex sin2 1+ x 2 ex . 44 下 函数的导数. (1)y= x+ 1 ln 2x ； (2)y= e 2x+1 x . 【答案】(1)y= ln 2x + 1x + 1(2)y = 2xe 2x+1- e2x+1 x2 【解析】(1)y= x+ 1 ln 2x + x+ 1  ln 2x  = ln 2x + x+ 1 ⋅ 1x = ln 2x + 1 x + 1 (2)y= e2x+1  ⋅ x- x ⋅ e2x+1 x2 = 2xe 2x+1- e2x+1 x2 45 下 函数的导数． (1)y= x- 1 x+ 1 + x+ 1 x- 1 (2)y= e-2x+1 x- 1 6 【答案】(1)y= -4 x- 1 2 ；(2)y= e-2x+1 x- 1 5 8- 2x  【解析】(1)y= x- 1 x+ 1 + x+ 1 x- 1 = x- 1 2+ x+ 1 2 x+ 1  x- 1  = 2x+ 2 x- 1 y= 2x+ 2 x- 1  = 2x+ 2  x- 1 - 2x+ 2 x- 1  x- 1 2 = 2 x- 1 - 2x+ 2  x- 1 2 = -4 x- 1 2 计算专题训练 7 导数计算 第 83页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (2)y= e-2x+1 x- 1 6 = e-2x+1  x- 1 6+ e-2x+1 x- 1 6  =-2e-2x+1 x- 1 6+ e-2x+1 ⋅ 6 x- 1 5= e-2x+1 x- 1 5 8- 2x  46 下 函数的导数. (1)y= 2x5- 3x2- 4； (2)y= e x sinx . 【答案】(1)y= 10x4- 6x；(2)y= e xsinx- excosx sin2x 【解析】(1)y= 2x5- 3x2- 4 = 2x5 - 3x2 = 10x4- 6x (2)y= e x sinx  = ex sinx- sinx ex sin2x = e xsinx- excosx sin2x 47 下 函数的导数： (1)y= x2sinx； (2)y= lnx+ 1 x ； (3)y= x ⋅ tanx； (4)y= x+ 1 x+ 2 x+ 3 ； (5)y= 2x2+ 3  3x- 2 ； (6)y= cosxex ． 【答案】(1)y= 2xsinx+ x2cosx(2)y= 1 x - 1 x2 (3)y= tanx+ x cos2x (4)y= 3x2+ 12x+ 11(5)y= 18x2- 8x+ 9(6)y=- sinx+ cosx ex 【解析】(1)y= x2sinx = x2 sinx+ x2 sinx = 2xsinx+ x2cosx； (2)y= lnx+ 1 x  = lnx + 1x  = 1 x - 1 x2 ； (3)y= x ⋅ tanx = xtanx+ x tanx = tanx+ x ⋅ sinxcosx  = tanx+ x ⋅ cos 2x+ sin2x cos2x = tanx+ x cos2x ； (4)y= x+ 1  x+ 2 x+ 3  + x+ 1  x+ 2 x+ 3   = x+ 1  x+ 2 x+ 3 + x+ 1 x+ 2  x+ 3 + x+ 1 x+ 2 x+ 3  = x+ 2 x+ 3 + x+ 1 x+ 3 + x+ 1 x+ 2  = 3x2+ 12x+ 11. (5)y= 2x2+ 3  3x- 2 + 2x2+ 3  3x+ 2 = 4x 3x- 2 + 3 2x2+ 3 = 18x2- 8x+ 9； (6)y= cosx ex  = cosx  1ex + cosx 1 ex  =-sinx ⋅ 1 ex + cosx ⋅ - 1 e2x ⋅ e x=- sinx+ cosx ex . 第 84页 共 131页