河南省信阳市第一高级中学2019届高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题（图片版）

2018-2019学年普通高中高三第二次教学质量检测 数学理科参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.A 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.A 11.B 12.C 二、填空题 13.6 14.36 15. 1+ 13 2 16.2 n+n 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由余弦定理得:cosB= 1 4 (2分)……………………………………… sin2 A+C 2 +cos2B=sin 2(π 2- B 2 )+2cos2B-1 =cos2 B 2+2cos 2B-1 = 1+cosB 2 +2cos 2B-1 = 1 4 (6分)………………………………………………………………………… (Ⅱ)由cosB= 1 4 ,得sinB= 15 4 . (7分)………………………………………… ∵b=2,a2+c2-b2= 1 2ac ∴a2+c2= 1 2ac+b 2= 1 2ac+4≥2ac ,从而ac≤ 8 3 (10分)……………………… 故SΔABC= 1 2acsinB≤ 15 3 (当且仅当a=c时取等号) (12分)………………… 18.解:(Ⅰ)∵Sn= an(an+1) 2 (n∈N*),∴Sn-1= an-1(an-1+1) 2 (n≥2). (1分) …… ………………………………………………………………………………… 两式作差得an= a2n+an-a2n-1-an-1 2 (n≥2), 整理得:(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1), ∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an-1≠0, ∴an-an-1=1(n≥2). (4分)……………………………………………………… 当n=1时,a1=1, ∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列; (6分)…………………………… (Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn=n×1+ n(n-1)×1 2 = n2+n 2 , (7分)………………………… )页4共(页1第 案答学数科理三高 ∴bn= 1 Sn= 2 n2+n=2 (1 n- 1 n+1 ), (9分)………………………………………… ∴Tn=2[(1- 1 2 )+( 1 2- 1 3 )+( 1 3- 1 4 )+…+( 1 n- 1 n+1 )]=2(1- 1 n+1 )= 2n n+1. ∵Tn+1-Tn>0,∴Tn≥T1=1, ∴λ≤1,故λ的取值范围为(﹣∞,1]. (12分)…………………………………… 19.解:(Ⅰ)由题意可得: a2 c=4 ,c 2 a2+ 3 4 =1 ,b2=a2-c2, (2分)……………… 联立解得c=1,a=2,b2=3, 可得椭圆C 的方程为: x2 4+ y2 3=1. (4分)………………………………………… (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:A(-2,0),F(1,0),设P(4,m),Q(4,n), (5分)…………… ∵PF⊥QF,∴mn=-9,直线AP 的方程:y= m 6 (x+2),直线AQ 的方程: y= n 6 (x+2). 联立 y= m 6 (x+2) x2 4+ y2 3=1 ì î í ï ïï ï ï ,可得 M( 54-2m2 27+m2 ,18m 27+m2 ). (6分)………………………… 同理可得:N( 54-2n2 27+n2 ,18n 27+n2 ). (7分)…………………………………………… 若直线 MN 的斜率不存在,则 18m 27+m2+ 18n 27+n2=0 ,与mn=-9<0 联立解得m=3,n=-3.或m=-3,n=3. 直线 MN 的方程为:x=1,此时直线经过定点(1,0). (9分)…………………… 若直线 MN 的斜率存在,则kMF= 18m 27+m2 54-2m2 27+m2 -1 = 6m 9-m2 ,kNF= 18n 27+n2 54-2n2 27+n2 -1 = 6n 9-n2 ∵mn=-9,∴m=- 9 n ,∴kMF= 6×(- 9 n ) 9-(- 9 n )2 = 6n 9-n2=kNF ,∴直线 MN 过一定 点F(1,0), 综上可得:直线 MN 过一定点F(1,0). (12分)………………………………… 20.解:(Ⅰ)随机抽取15天的数据的平均数为:x= 1 15 (25+28+31+…+92)= )页4共(页2第 案答学数科理三高 55 (3分)………………………………………………………………………………… (Ⅱ)依据条件,ξ的可能值为0,1,2,3, 当ξ=0时,P(ξ=0)= C05C310 C315 = 24 91 , (4分)……………………………………… 当ξ=1时,P(ξ=1)= C15C210 C31