江苏淮安市淮安区2025-2026学年高一下学期6月期末调研考试数学试题

2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）． A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为（ ）． A.63、64、66 B.65、65、67 C.65、64、66 D.64、65、64 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）． A. B.或 C. D.或 4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为（ ）． A. B. C. D. 5.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面ABC，平面ABC，，，，，，则塔尖MN之间的距离为（ ）． A. B. C.150 D. 6.已知在中，，则的形状为（ ）． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是．同样也假定D受A，B和C感染的概率都是．在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是（ ）． A. B. C. D. 8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，N是边BC上一点，且满足，M是AC中点，则MN的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9.如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ）． A.若时，三棱锥的体积为定值 B.若时，周长的最小值为 C.若时，三棱锥外接球体积为 D.若M为BC中点，则的最小值为 10.已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）． A.动点M轨迹的长度是 B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C.直线与BC所成的角为，则的最小值是 D.存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为 11.下列说法中错误的为（ ）． A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C.若，则在方向上投影的数量为 D.三个不共线的向量，，，满足，则O是的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且．该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m．则山高BC为______m．（该同学的身高忽略不计） 13.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着美丽的邂逅．它的具体内容是：如图，若P是内一点，，，的面积分别为，，，则有．已知O为的内心，且，若，则的最大值为______． 14.在长方体中，，E，F分别为棱，上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分） 如图，在三棱台中，，D，E分别为AB，AC的中点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积． 16.（本小题15分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17.（本小题15分） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，AD是中线，求AD的长． 18.（本小题17分） 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在BC上，AD平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 19.（本小题17分） 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥的体积为3． ①求三棱锥的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角的正弦值． 2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A B D C B 1.【分析】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，是基础题． 先得到实验的必然事件，再根据互斥事件，对立事件的定义判断即可． 【解答】解：必然事件为：都是白球，1个白球和1个红球，都是红球， A：至少有1个白球包含1个白球1个红球和都是白球，故A不对， B：至少有1个红球包含1个白球1个红球和都是红球，故B不对， C：摸出1个白球1个红球发生时，摸出2个白球不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对， D：摸出1个白球1个红球和摸出2个白球或摸出2个红球，是对立事件，故D不对． 故选：C． 2.解：由频率分布直方图可知，众数为， 由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65， 平均数为． 故选：B． 3.【分析】本题考查正弦定理及内角和的应用，属于一般题． 利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得． 【解答】解：因为，，， 由正弦定理可得，即． 因为，所以或， 当时，，不满足，所以． 故选：A． 4.【分析】本题考查球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键，属于基础题． 画出图形，利用已知条件求出，然后求解球的半径，即可求解球的表面积． 【解答】解：由题意可知图形如图：的面积为，可得的半径， 由题知是等边三角形，根据等边三角形性质， 得，， ∴， 球O的半径为，球O的表面积：． 故选：A． 5.【分析】本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题． 通过所给条件依次求出MC，NC，再由余弦定理可求得MN． 【解答】解：由题得，在中，， 则， 在中，， 则在中，由余弦定理可得 ， 则． 故选：B． 6.【分析】本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题． 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为， 又，得到， 在中，，，或据此可得到答案． 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案． 【解答】解：方法一 ∵， ∴由正弦定理得． 又，∴，∴． 在中，，， ∴或，∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 故选D． 方法二 ∵， 由正弦定理、余弦定理得， ∴，∴， ∴或，即或， ∴为等腰三角形或直角三角形．故选D． 7.【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题． 在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种： ①B，C两人直接由A感染，D由B感染； ②B，D两人直接由A感染，C由B感染； ③B，C两人直接由A感染，D由C感染． 由此能求出在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率． 【解答】解：某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的． 对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是． 同样也假定D受A，B和C感染的概率都是． 在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种： ①B，C两人直接由A感染，D由B感染； ②B，D两人直接由A感染，C由B感染； ③B，C两人直接由A感染，D由C感染． ∴在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是： ． 故选：C． 8.解：因为，所以， 而由C是三角形内角得：，因此，即． 在中，因为，所以． 因为M是AC中点，所以． 因为N是边BC上一点，且满足，所以． 在中，由余弦定理得： ， 因为，，， 所以 ， 因为，所以， 因此当，即时，取得最小值， 所以的最小值为， 因此MN的最小值为． 故选B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符得合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD ABC AC 9.解：对于A，当时，点P在线段上， 因为面ABCD，所以点P到面BCD的距离为定值， 因为为定值，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P为线段的中点，如图， 因为是直角三角形，所以三棱锥外接球球心在过的外心， 即斜边BD中点，与面BCD垂直的直线上， 设为点O，球的半径为R，则有，解得， 所以三棱锥外接球体积为，故C正确； 对于D，因为，，， 所以点P在面内运动， 因为面，且，关于面对称， 则的最小值为的最小值， 所以当点、P、M三点共线时的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 10.【分析】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理的应用，同时考查了线面角、异面直线所成的角及棱锥的体积公式等，考查了转化思想应用及空间想象力，属于较难题． 对于A，取AD、AB的中点E、F，可证明平面，得到动点M轨迹为线段，从而判断A； 对于B，可知三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥，从而判断B； 对于C，直线与BC所成的角即直线与所成的角，即，解三角形从而判断C； 对于D，易知当点M与重合时，直线与平面所成的角最大，从而判断D． 【解答】解：对于A，如图，取AD、AB的中点E、F， 连接PD、、EF、、、、，可得， 则，， 又，PD，平面PCD，可得平面PCD， 又平面PCD，则，同理可证， 因为，EF，平面，则平面， 因为，则点平面， 又由点平面，可得点， 即动点M轨迹为线段，其长度为，故A正确； 对于B，三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥， 其体积为，故B正确； 对于C，∵， ∴直线与BC所成的角即直线与所成的角，即， ∵平面，∴为直角三角形， 故， 当时，最小，此时， 故的最小值是，故C正确； 对于D，当点M与重合时，直线与平面所成的角最大， 设直线与平面所成的角为，则， 故，故D错误． 故选：ABC． 11.【分析】本题考查了向量的数量积运算，向量的夹角，投影的数量，向量共线等知识，属于中档题．对于每个选项进行逐一判定，即可得出答案． 【解答】解：A.∵，，与的夹角为锐角， ∴且 （此时与的夹角为0），故A错误； B.∵向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确； C.若，则在方向上的投影的数量为，故C错误； D.过O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图， ∵三个不共线的向量，，，满足， ∴，即， 即，易得≌，则， 同理可得，即点O到三边的距离相等， 则O是的内心，D正确． 故错误的选项为AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 12.【分析】本题考查余弦定理、三角函数的定义在解三角形问题中的应用，属于中档题． 设，则，然后利用直角三角形ACD，直角三角形ACE，结合三角函数的定义表示出CD，CE，最后在三角形CDE中，利用余弦定理列出关于x的方程求解即可． 【解答】解：如图，设，则， 又由已知得，为直角三角形，且，， 所以由，为直角三角形得： ，解得． ，解得． 在三角形CDE中，又，， 由余弦定理得：， 即， 解得． 故答案为：． 13.【分析】本题主要考查了平面向量的新定义问题，综合考查了向量的线性运算、余弦定理以及利用基本不等式求最值，属于中档题．由已知利用向量的线性运算，余弦定理及基本不等式进行求解． 【解答】解：设中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c． 因为的内心O到该三角形三边的距离相等，则， 由可得， 所以， 又， 则， 所以，所以，可得． 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以． 故答案为． 14.【分析】本题考查空间几何体的截面面积，余弦定理解三角形，属于综合题． 【解答】解：如图，设线段上靠近D的四等分点为G， 连接，，CE，CF，EF，BD，GE． ∵，， ∴四边形是平行四边形，即过点C，E，F的平面截该正方体所得的截面为平行四边形． 易证，， ∴， ∴， ∴过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.本题需要掌握线面平行的判定，计算棱台与棱锥的体积，属于中等题． （1）通过证明平面平面，即可证明平面； （2）通过求出棱台上下底面面积和三棱锥的体积表达式，即可求出三棱台的体积． 解：（1）由题意，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴． 又平面，平面， ∴平面． ∵，D为AB的中点，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面， ∴平面． 又，∴平面平面． ∵平面，∴平面． （2）由题意及（1）得，设的面积为S， 则由几何知识知的面积为，的面积为S， 设三棱台的高为h，则， ∴． 16.解：（1）由，，且， 可得， 利用正弦定理得：， 所以，即， 由于，故， 由于，所以． （2）由于的面积为，所以，可得， 利用余弦定理得，解得， 所以周长． 17.解：（1）因为， 由正弦定理可知：． ∵，∴， ∴，∴． 又A为三角形内角，所以． （2）由，得． 又，在中由余弦定理得． ∵，∴， 所以． 18.解：（1）由， 结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可得，所以． （2）因为AD平分内角A，所以． 又，所以，． 在中，由余弦定理可得， 所以． 在中，由余弦定理可得， 所以． 又，所以， 所以，所以，． 又，所以是直角三角形，且， 所以． 又，所以． （3）设， 因为， 所以， 若，则． 又，即，所以． 又，所以，所以． 所以实数k的取值范围为． 19.本题考查了面面平行的性质，棱锥的体积，二面角的求解，圆台的结构特征，属于较难题． （1）根据面面平行的性质进行证明即可； （2）①将圆台的母线延长交于一点P，连接PE，延长PE交底面于点Q，连接BQ，CQ，根据面面平行的性质可得，推出四边形BFCQ为平行四边形，结合等体积法进行求解即可； ②过点D作边BC的垂线DG，垂足为G，在平面BFC内过点G作CF的平行线GH交BF于点H，连接DH，则为母线与下底面所成角，为二面角的平面角，求得DG的最小值，以及此时GH的值，解三角形即可． （1）证明：在圆台中，平面平面BFC． 因为平面平面，平面平面， 所以． （2）解：①将圆台的母线延长交于一点P，连接PE，延长PE交底面于点Q，连接BQ，CQ， 在圆台中，平面平面BFC． 因为平面平面，平面平面， 所以． 又由（1）可知，所以． 又，，BF，CF，BQ，平面BFC， 所以，所以四边形BFCQ为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接AC，交BD于点T，所以， 所以A，C到平面BEDF的距离之比为， 所以． ②在等腰梯形ABCD中，过点D作边BC的垂线DG，垂足为G， 在平面BFC内过点G作CF的平行线GH交BF于点H，连接DH， 易得， 因为平面BFC，所以平面BFC， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要DG最小即可． 因为，所以，所以， 设，因为BC为圆的直径，所以． 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以DG的最小值为． 因为，，所以． 因为平面BCF，平面BCF，所以． 因为，DG，平面DGH，所以平面DGH． 因为平面DGH，所以， 因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以． 因为平面BFC，平面BFC，所以． 在中，由勾股定理得， 所以，所以二面角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 门4T 高一数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可解回 (正面制上，切勿贴出盛线方框 正确填涂 缺考标记 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 囚■囚 (LI)8I ▣ 19.(17分) ■