精品解析：四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟四数学试卷

宜宾市一中2024级高二下期模拟四 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式逐个判断各个选项即可． 【详解】解：A．，故正确，不符合题意； B．，故正确，不符合题意； C．，故正确，不符合题意； D．，故选项错误，符合题意；． 故选：D． 2. 调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ） A. 与负相关 B. 当时，一定为1359 C. 当时，一定小于1359 D. 两变量无线性关系 【答案】A 【解析】 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 4. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 960 B. 160 C. -160 D. -960 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开式的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：常数项为. 故选：B 5. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式求出. 【详解】随机变量，所以. 故选：C 6. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 126 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可. 【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组， 则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有： 种情况， ②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有： 种情况， ③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况， 所以满足题意的情况为：， 故选：B. 7. 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出，再由条件概率的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 8. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出为偶函数，得出；对求导，根据，判断函数的单调性，从而得出间的大小关系. 【详解】已知，函数定义域为R,关于原点对称，则, 即，为偶函数. 所以. 求导：. 当时，，故，即. 所以在时单调递增. 所以，又，则. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C正确； 对于D：对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有唯一极值点 B. 在单调递增 C. 的最大值为 D. 在处的切线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求导后判断导数的正负，从而得到单调区间，进而求得极值、最值，再由导数几何意义求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程. 【详解】由，得， 令，则 或， 所以当或时，； 当时，. 所以在上递增，在上递减, 在上递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. 因为，所以的最大值为. ， 又， 函数在点处的切线方程是，即. 故AD错误；BC正确； 故选：BC 11. 已知函数有三个不同的零点，，（其中），则（ ） A. a的值可以为－4 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】若函数有三个不同的零点，则方程有三个不同的实数根，令，则，设，求导分析单调性，极值，分析的零点，即可得出答案． 【详解】函数有三个不同的零点，，（其中）， 即方程有三个不同的实数根，，（其中）， 等价于方程有三个不同的实数根，，（其中）， 令，其中， 令，则；，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 其中，，且当时，恒成立，可得函数的大致图象， 由题知，方程有三个不同的实数根， 则需要有两个不同解， 所以，即或，A选项错误； 则有，， 当时，，， 又因为，即，所以与矛盾， 所以不符合题意，故舍去. 当时，，则， 则对应的关系有，且应满足，如图所示， 且，则，即， 令，则， 由对勾函数在上单调递减，则在上单调递增， ，所以，B选项正确； ，所以， ， 令，， 当时，，，， 所以在上，单调递增，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以，即，故C选项正确； 由且，则有 ，D选项正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛： 函数的零点转化为方程的根，通过构造函数，借助导数研究单调性，利用数形结合求出零点的范围，根据选项中的内容通过函数的性质判断结论是否正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的均值公式计算即得. 【详解】因，由可得，解得. 故答案为：. 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 【答案】0.037 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”； 所以 . 故答案为：0.037 14. 已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义列方程即可求出． 【详解】， ， ，是直线与函数相切的切点， ，， ， ， 即直线的方程为， ， ， 设与的切点坐标为，， ， 切线方程为， 即， ，， 解得， ， ． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了件电子元件，为这件产品首次出现故障时间小于天的件数，若，求和． 【答案】（1）第一四分位数为，中位数为 （2）（ⅰ）（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义可求得第一四分位数和中位数； （2）（i）根据频率分布直方图可求得的值； （ii）根据二项分布的期望和方差公式可求得、的值. 【小问1详解】 由直方图可知，数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得， 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得． 故第一四分位数为，中位数为. 【小问2详解】 （i）由直方图可知，小于天的频率为，故， （ii）因为，根据二项分布的期望和方差公式， ，. 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 17. 已知数列中，，且（）． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）由，得，则， 又，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而求证即可； （2）先求出，再利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，则， 所以①， 则②， 则①②得：， 所以． 18. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义即可求解； （2）将两直线分别与抛物线方程联立成方程组，消元后，得到，，再结合四边形的面积为即可列等式求解. 【小问1详解】 由题知，当点在原点上时，的最小，所以，所以，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 设方程为 由联立得：．于是，， 于是， 直线方程为． 由联立得：．解得或． 于是，点，所以 所以四边形的面积 即，令，则，所以 于是，． 即 即解得或 于是，或 所以直线的方程为或 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解； （2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证. 【小问1详解】 当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2024级高二下期模拟四 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ） A. 与负相关 B. 当时，一定为1359 C. 当时，一定小于1359 D. 两变量无线性关系 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 960 B. 160 C. -160 D. -960 5. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 126 D. 240 7. 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有唯一极值点 B. 在单调递增 C. 的最大值为 D. 在处的切线方程为 11. 已知函数有三个不同的零点，，（其中），则（ ） A. a的值可以为－4 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则_________． 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 14. 已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了件电子元件，为这件产品首次出现故障时间小于天的件数，若，求和． 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列中，，且（）． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $