4.5.1 向量的数量积（课件）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

第4章—— 向 量 4.5　向量的数量积 4.5.1　向量的数量积 [学习目标] 1.理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系. 2.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算. 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 栏目索引 CONTENTS PAGE 1.如图，一个物体在力F的作用下产生位移s， 且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功 W是多少？ 答　W＝|F||s|cos θ. [知识链接] 预习导学 挑战自我，点点落实 ‹#› 4.5.1　向量的数量积 2.向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答　向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向. ‹#› 4.5.1　向量的数量积 1.两个向量的夹角 规定〈a，b〉为a，b之间所夹的 的 角，取值范围规定为 . 2.向量的数量积定义 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. [预习导引] 最小 非负 [0，π] ‹#› 4.5.1　向量的数量积 3.定理5：数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b ·a，对任意向量a，b成立； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，对任意向量a，b和实数λ成立； (3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立. ‹#› 4.5.1　向量的数量积 要点一　平面向量数量积的基本概念 例1　下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是________. 课堂讲义 重点难点，个个击破 ‹#› 4.5.1　向量的数量积 解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确； 若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确； a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错. 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； ‹#› 4.5.1　向量的数量积 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错； |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错. 综上可知①②⑥正确. 答案　①②⑥ ‹#› 4.5.1　向量的数量积 规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. ‹#› 4.5.1　向量的数量积 跟踪演练1　已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为(　　) ①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|； ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|. A.1 B.2 C.3 D.4 解析　①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题. ‹#› 4.5.1　向量的数量积 ②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题. ③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题. ‹#›