4.5.2 利用数量积计算长度和角度（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0B．a C．b D．c 答案　B 2．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是(　　) A. D．π C.B. 答案　A 解析　由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0， ∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝.，θ＝＝ 3．设向量a，b满足|a＋b|＝，则a·b等于(　　) ，|a－b|＝ A．1B．2 C．3 D．5 答案　A 解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4， ∴a·b＝1. 4．在△ABC中，若A＝120°，|的最小值是(　　) ＝－1，则|· A. D．6B．2 C. 答案　C 解析　∵＝－1，· ∴||·cos120°＝－1，|·| 即||＝2，|·| ∴|2＋·2－2|2＝－|2＝| ≥2|＝6，·|－2|·| ∴|.|min＝ 5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． 答案　－ 解析　∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|， ∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b， ∴a·b＝－|b|2， ∴cos〈a·b〉＝.＝－＝ 6．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________． 答案　[1,7] 解析　方法一　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]． 方法二　设θ为两向量a，b的夹角，则θ∈[0，π]． ∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ＝25－24cosθ， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]． 7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝.，且a·b＝ (1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|. 解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝， ∴a2－b2＝；，即|a|2－|b|2＝ 又|a|＝1，∴|b|＝. ∵a·b＝，，∴cosθ＝，∴|a|·|b|cosθ＝ ∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝， ∴|a－b|＝. 二、能力提升 8．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．－8B．8 C．－8或8 D．6 答案　B 解析　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－＝8.，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×，sinθ＝ 9．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________. 答案　3 解析　|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9. ∴|a|＝3.[来源:学_科_网] 10．已知向量，则实数λ的值为________． ⊥，且＋＝λ|＝2，若|＝3，|的夹角为120°，且|与 答案　 解析　因为向量.＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝·2＋(λ－1)2－λ)＝0，所以－)·(＋＝(λ·＝0，即·得，⊥×3×2＝－3.由|cos120°＝－|·|＝|·|＝2，所以|＝3，|的夹角为120°，且|与 11．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解　由已知得e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.＝4，e ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＝2t2＋15t＋7.＋(2t2＋7)e1·e2＋7te 欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－. 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)， ∴.，此时λ＝－∴2t2＝7.∴t＝－ 即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°. ∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是 .[来源:Zxxk.Com]∪ 12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． (1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a|