4.5.1 向量的数量积（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于(　　) A．－1B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 所以a·b＝1×1×cos60°＝， (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0. 2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45°B．135° C．120° D．150° 答案　B 解析　∵cosθ＝，＝－＝ ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°. 3．下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a|·|b| B．a·b≠b·a C．(λa)·b≠a·(λb) D．非零向量a与b的夹角余弦值为 答案　D 解析　根据向量的数量积的定义可知选D.[来源:学#科#网] 4．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7B．10 C．14 D．70 答案　D 解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×＝70. 5．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，a与c的夹角为90°，b与c的夹角为60°，则(a＋b)·c＝________.[来源:学科网] 答案　4 解析　(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝|a||c|cos90°＋ |b||c|cos60°＝2×4×＝4. 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则＝________.· 答案　－ 解析　∵，＋＝＝ .－＝ ∴) －)·(＋(2＝· ＝) ·2＋AC2－－2·(2 ＝.(2×1×cos120°－2×22＋1)＝－ 7．在△ABC中，＝b，当a·b满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？ ＝a， (1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0. 解　∵a·b＝|·cosA.|·|＝|· (1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形； (2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形； (3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定． 二、能力提升 8．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150°B．120° C．60° D．30° 答案　B 解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°. 9．在边长为1的等边△ABC中，设＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　) ＝b，＝a， A．－ D．3B．0 C. 答案　A 解析　a·b＝·＝－· ＝－|.|cos60°＝－|| 同理b·c＝－，，c·a＝－ ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 10．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝________.· 答案　2 解析　因为已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则|cos90°＝0，||＝|· 故) ＋)·(＋＝(· ＝) －·( ＝2－·＋·2－ ＝4－0＋0－×4＝2. 11．已知正方形ABCD的边长为1，分别求： (1).·；(3)·；(2)· 解　(1)的夹角为180°，与 ∴|cos180°＝－1.||＝|· (2)的夹角为90°，与 ∴|cos90°＝0.||＝|· (3)的夹角为135°，与 ∴|cos135°＝－1.||＝|· 12．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足)的值． ＋·(，求＝2 解　如图，由题意知，|＝1，，∵|＝2＋ ∴|，|＝，||＝ ∴.×2＝－×＝－·2)＝＋·( 三、探究与创新 13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求)的最小值． ＋·( 解　设，0≤t≤1，则[来源:学+科+网Z+X+X+K]＝t ，＝2t＝2＋ ，＝(t－1)－＝t＋＝ ∴)有最小值－2.＋·(时，2－2，∴当t＝2＝8(t－1)t＝8t2－8t＝8)＝2(t－1)t＋·( $$