4.5.2 利用数量积计算长度和角度（课件）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

第4章—— 向 量 4.5　向量的数量积 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 [学习目标] 1.掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义. 2.会利用向量数量积的有关运算进行计算或证明. 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 栏目索引 CONTENTS PAGE 1.向量数乘的运算律有哪些？ 答　(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. [知识链接] 预习导学 挑战自我，点点落实 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 2.向量数量积的运算律有哪些？ 答　(1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，对任意向量a，b和实数λ成立； (3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 [预习导引] ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 (4) a·b＝0⇔a⊥b(垂直条件). (5)|a·b| |a||b|. (6)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (7)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. (8)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ≤ ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 要点一　向量模的运算 例1　已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|. 解　由已知：|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24， ∴(a＋b)2＝242. a2＋2a·b＋b2＝242,2a·b＝242－132－192＝46. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132－46＋192＝484， 课堂讲义 重点难点，个个击破 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 要点二　向量夹角的运算 例2　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角. 解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a与b的夹角为120°. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 规律方法　求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 跟踪演练2　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 解　由已知得(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0，① (a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0，② ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 要点三　向量垂直的应用 例3　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直. 解　a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 规律方法　向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 跟踪演练3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ 解　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. ‹#› 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 1 2 3 4 B 当堂检测