3.1.2 弧度制（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．－300°化为弧度是(　　) A．－ππ B．－ C．－ππ D．－ 答案　B 2．集合A＝的关系是(　　) 与集合B＝] A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．以上都不对 答案　A 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　) A．2 B．sin2 C. D．2sin1 答案　C 解析　r＝.，∴l＝|α|r＝ 4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 答案　(－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析　∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k＝0时，0.5π＜α≤2， 当k为其它整数时，满足条件的角α不存在． 6．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． 答案　 解析　由于S＝S.R＝l××l′R′＝R，则S′＝l，R′＝lR，若l′＝ 7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解　(1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {θ|2kπ－，k∈Z}． <θ<2kπ＋ (2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合 {θ|kπ＋，k∈Z}．<θ<kπ＋ 二、能力提升 8．扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9 答案　B 解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r， 则R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2. S扇形＝πr2.×9r2＝××R2＝×αR2＝ ∴S内切圆∶S扇形＝2∶3. 9．下列表示中不正确的是(　　) A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z} C．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k·，k∈Z} D．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z} 答案　D 解析　终边在直线y＝x上的角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}． 10．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}， 集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________. 答案　[－4，－π]∪[0，π] 解析　如图所示， ∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]． 11．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解　设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r， 从而S＝(30－2r)·r·l·r＝ ＝－r2＋15r＝－.2＋ ∴当半径r＝＝15cm，cm时，l＝30－2× 扇形面积的最大值是＝2.cm2，这时α＝ ∴当扇形的圆心角为2，半径为cm2.cm时，面积最大，为 12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角为θ (0<θ<π)，2s时位于第三象限，14s时又回到了出发点A处，求θ. 解　因为0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)， 则必有k＝0，于是，<θ< 又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝，[来源:学科网ZXXK] 从而，<n<，即<< 所以n＝4或5，故θ＝.或 三、探究与创新 13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积． 解　设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝ (cm)． ，R＝10，∴l＝αR＝ S弓＝S扇－S△＝ (cm2)． ＝50×10×cos×2×10×sin×10－× $$