3.2.1 任意角三角函数的定义（二）（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

[来源:学科网ZXXK] 一、基础达标 1．有三个命题：①的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为(　　) 和的正切线相同；③和的正弦线长度相等；②和 A．1B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.和两角的正切线相同；和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和 2．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是(　　) A．sin1>sin1.2>sin1.5 B．sin1>sin1.5>sin1.2 C．sin1.5>sin1.2>sin1 D．sin1.2>sin1>sin1.5 答案　C 解析　∵1,1.2,1.5均在内随α的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin1.2>sin1.内，正弦线在 3．函数y＝tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵x－，k∈Z，[来源:学。科。网Z。X。X。K]≠kπ＋ ∴x≠kπ＋，k∈Z. 4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 答案　C 解析　作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM>0，a＝MP<0， c＝AT<0，且MP>AT. ∴c<a<b. 5．若0<α<2π，且sinα<，则角α的取值范围是(　　) ，cosα> A. B. C.∪ D. 答案　D 解析　α取值范围为图中阴影部分，即.∪ 6．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sinα<cosα}，则A∩B＝______________. 答案　∪ 7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： (1)sinx>－；(2)tanx≥－1.且cosx> 解　 (1)由图(1)知：当sinx>－.时，角x满足的集合：且cosx> (2)由图(2)知：当tanx≥－1时，角x满足的集合为： ∪. 即. 二、能力提升 8．如果，那么下列不等式成立的是(　　) <α< A．cosα<sinα<tanαB．tanα<sinα<cosα C．sinα<cosα<tanαD．cosα<tanα<sinα 答案　A 解析　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα. 9．不等式tanα＋>0的解集是______________． 答案　 解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)， ∴. 10．把sinπ由小到大排列为________________． π，tanπ，cos，sin 答案　cosππ<tan<sinπ<sin 解析　如图可知，sin＝M1P1>0， sinπ＝AT>0，π＝M2P2>0，tan cosπ＝OM3<0. 而0<M1P1<M2P2<AT， ∴0<sinπ.π<tan<sin 而cosπ.π<tan<sinπ<sinπ<0，∴cos 11．求函数y＝logsinx(2cosx＋1)的定义域． 解　由题意得，要使函数有意义， 则须 如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为 . 12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sinα≥.；(2)cosα≤ 解　(1)由图①知：当sinα≥.时，角α满足的集合为 (2)由图②知：当cosα≤时，角α满足的集合为 . 三、探究与创新 13．当α∈时，求证：sinα<α<tanα. 证明　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sinα，AT＝tanα. 因为S△AOP＝sinα，OA·MP＝ S扇形AOP＝α，αOA2＝ S△AOT＝tanα，OA·AT＝ 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以tanα，α<sinα< 即sinα<α<tanα. $$