3.2.2 同角三角函数之间的关系（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于(　　) A．－ B. C．± D．± 答案　A 解析　α为第二象限角，sinα＝，，cosα＝－ tanα＝－. 2．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1 ＝2×.－1＝－ 3．已知＝2，则sinθcosθ的值是(　　) A. B．± C. D．－ 答案　C 解析　由题意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)， ∴(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2， 解得sinθcosθ＝. 4．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α ∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1. 5．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝. 答案　1 解析　原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β ＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β ＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β) ＝sin2α＋cos2α＝1. 6．已知α∈R，sinα＋2cosα＝则tanα＝. 答案　3或－ 解析　因为sinα＋2cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1， 联立解得或 故tanα＝，或tanα＝3.＝－ 7．(1)化简； (2)用tanα表示，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α. 解　(1)＝|cos100°|＝－cos100°.＝ (2)，＝＝ sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝ ＝.＝ 二、能力提升 8．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于(　　) A．－ D. C．－B. 答案　D 解析　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ ＝，＝ 又tanθ＝2，故原式＝.＝ 9．已知sinα－cosα＝－的值为(　　) ，则tanα＋ A．－4B．4 C．－8 D．8 答案　C 解析　tanα＋.＝＋＝ ∵sinαcosα＝，＝－ ∴tanα＋＝－8. 10．已知直线l的倾斜角是θ，且sinθ＝，则直线l的斜率k＝. 答案　±[来源:学科网] 解析　因为直线l的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π)． 又因为sinθ＝，sin2θ＋cos2θ＝1， 所以cosθ＝±，＝± 于是直线l的斜率k＝.＝± 11．已知tanα＝－＝.，则 答案　－ 解析　原式＝ ＝.＝－＝＝ 12．求证：.＝－ 证明　方法一　 左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边．[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴原式成立． 方法二　∵，＝＝ ，＝＝ ∴.＝－ ∴原式成立． 三、探究与创新 13．已知sinα＋cosα＝－，其中0<α<π，求sinα－cosα的值． 解　因为sinα＋cosα＝－， 所以(sinα＋cosα)2＝， 所以1＋2sinαcosα＝， 所以sinαcosα＝－. 因为0<α<π且sinαcosα<0， 所以sinα>0，cosα<0， 所以sinα－cosα>0. 又因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，[来源:Zxxk.Com] 所以sinα－cosα＝. $$