3.2.3 诱导公式（二）（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为(　　) A．－ D. C．－B. 答案　A 解析　f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－. 2．已知sin，那么cosα等于(　　) ＝ A．－ D. C.B．－ 答案　C 解析　sin.＝cosα＝ 3．已知sin的值等于(　　) ，则cos＝ A．－ D. C．－B. 答案　A 解析　cos＝sin ＝sin.＝－＝－sin 4．若sin(π＋α)＋cos＋2sin(2π－α)的值为(　　) ＝－m，则cos A．－ D. C．－B. 答案　C 解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sinα－sinα＝－m， ∴sinα＝m.＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－.故cos 5.的值为． 答案　－1 解析　原式＝＝ ＝－＝－1.[来源:学§科§网] 6．计算sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝. 答案　 解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋.＝ 7．已知sin(π＋α)＝－. 计算：(1)cos； (2)sin； (3)tan(5π－α)． 解　∵sin(π＋α)＝－sinα＝－.，∴sinα＝ (1)cos.＝－sinα＝－＝cos (2)sin.＝＝cosα，cos2α＝1－sin2α＝1－ ∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，sin.＝cosα＝ ②当α为第二象限角时，sin.＝cosα＝－ (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tanα， ∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cosα＝， ∴tanα＝.，∴tan(5π－α)＝－tanα＝－ ②当α为第二象限角时，cosα＝－，，tanα＝－ ∴tan(5π－α)＝－tanα＝. 二、能力提升 8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A. D．－ C．－B. 答案　D 解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－. 9．已知tan(3π＋α)＝2，则 ＝. 答案　2 解析　原式＝＝2.＝＝ 10．化简：sin (k∈Z)． ＋cos 解　原式＝sin.＋cos 当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则 原式＝sin ＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋ ＝sin－cos ＝sin＝0；－sin 当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则 原式＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＝0.＋sin 综上所述，原式＝0. 11．已知sin，求sinα与cosα的值． <α<，且＝·cos 解　sin＝－cosα， cos＝－sinα.＝cos ∴sinα·cosα＝.①，即2sinα·cosα＝ 又∵sin2α＋cos2α＝1，② ①＋②得(sinα＋cosα)2＝， ②－①得(sinα－cosα)2＝. 又∵α∈，∴sinα>cosα>0， 即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0， ∴sinα＋cosα＝，③ sinα－cosα＝，④ ③＋④得sinα＝.，③－④得cosα＝ 12．已知cos， ＝2sin 求的值． 解　∵cos，[来源:Zxxk.Com]＝2sin ∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2. ∴ ＝＝ ＝＝ ＝[来源:Z*xx*k.Com]＝ ＝.＝－ 三、探究与创新 13．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式 同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解　由条件，得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，④ 由③④得sin2α＝，，即sinα＝± 因为α∈.或α＝－，所以α＝ 当α＝，又β∈(0，π)，时，代入②得cosβ＝ 所以β＝，代入①可知符合． 当α＝－，又β∈(0，π)，时，代入②得cosβ＝ 所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝满足条件． ，β＝ $$