5.3 简单的三角恒等变换（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

一、基础达标 1．已知180°<α<360°，则cos的值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ) ＝2sin. 当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x为奇函数．[来源:学科网ZXXK] 3．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，因为x∈[－π，0] 所以令k＝0得单调递增区间为. 4．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为________． 答案　[来源:Z|xx|k.Com] 解析　sin70°cos20°－sin10°sin50°＝.cos40°＝－sin50°＋＋(cos60°－cos40°)＝(sin90°＋sin50°)＋ 5．cos72°－cos36°的值为________． 答案　－ 解析　原式＝－2sin＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°＝－2·sin ＝－.＝－＝－ 6．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合． 解　(1)f(x)＝(cos4x－sin4x)－2sinxcosx[来源:学科网ZXXK] ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x ＝cos2x－sin2x＝.cos ∴T＝＝π，∴f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤，≤≤2x＋，∴ ∴当2x＋.，f(x)取最小值时x的集合为时，f(x)min＝－＝π，即x＝ 7．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(的值． ，求cos－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝ 解　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)， ∵π<θ<2π，∴.<＋< ∴cos<0. 由已知|m＋n|＝，得 |m＋n|＝ ＝ ＝ ＝＝2 ＝2 ＝－2，＝cos ∴cos.＝－ 二、能力提升 8．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 答案　A 解析　f(x)＝sinxcosx＋cos2x ＝cos2xsin2x＋ ＝sin. 所以最小正周期为π，振幅为1. 故选A. 9．若cosα＝－等于(　　) ，α是第三象限角，则 A．－ B. C．2 D．－2 答案　A 解析　∵α是第三象限角，cosα＝－， ∴sinα＝－. ∴＝ ＝ ＝· ＝.＝－＝ 10．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围为________． 答案　 解析　由题意得 cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)] ＝[sin(π－B)－sin(A－C)] ＝sin(A－C)． － ∵－1≤sin(A－C)≤1， ∴－，sin(A－C)≤－≤ ∴cosAsinC的取值范围是. 11．已知cos(α－)． ，π)，β∈(0，，且α∈(－β)＝，sin()＝－ 求：(1)cos； (2)tan(α＋β)． 解　(1)∵，<α<π，0<β< ∴，－β<<<π，－<α－ ∴sin(α－，＝)＝ cos(，＝－β)＝ ∴cos－β)] )－(＝cos[(α－ ＝cos(α－－β) )sin(－β)＋sin(α－)cos( ＝－.＝－×＋× (2)∵，<< ∴sin，＝＝ ∴tan，＝－＝ ∴tan(α＋β)＝.＝ 12．设向量a＝.，b＝(cosx，sinx)，x∈ (1)若|a|＝|b|.求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解　(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x， |b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，，从而sinx＝ 所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x ＝[来源:Zxxk.Com]cos2x＋sin2x－ ＝sin＋ 当x＝取最大值1，时，sin∈ 所以f(x)的最大值为. 三、探究与创新 13．已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋，x∈R.cos2x＋)－ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间[－]上的最大值和最小值． ， 解　(1)由已知，有 f(x)＝cosx·(cos2x＋cosx)－sinx＋ ＝cos2x＋sinx·cosx－ ＝(1＋cos2x)＋sin2x－