1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.在棱柱中满足(　　) A.只有两个面平行 B.所有面都平行 C.所有面都是平行四边形 D.两底面平行，且各侧棱也相互平行 答案　D 解析　由棱柱的定义可得只有D成立. 2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　) A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 答案　C 解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得). 3.下列说法中，正确的是(　　) A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 答案　A 4.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 答案　B 解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误. 5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　) 答案　A 解析　两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定. 6.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A垂直的平面是________. 答案　3　面ABCD、面A′B′C′D′ 解析　面ABCD与面A′B′C′D′平行，面ABB′A′与面CDD′C′平行，面ADD′A′与面BCC′B′平行，共3对. 与AA′垂直的平面是面ABCD，面A′B′C′D′. 7.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？ 解　这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体. 有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱. 二、能力提升 8.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　) A.20 B.15 C.12 D.10 答案　D 解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D. 9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 答案　①③④⑤ 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤ 10.如图，M是棱长为2cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 答案　 解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm，故两点之间的距离是cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm. 11.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. (3)S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE ＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 三、探究与创新 12.长方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值. 解　把长方体的部分面展开，如图所示. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1