1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥 答案　D 解析　连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥. 2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是(　　) A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于轴对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 答案　A 3.过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是(　　) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 答案　B 解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆. 4.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　) A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 答案　B 解析　一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱. 5.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是(　　) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 答案　C 解析　当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④. 6.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________. 答案　2 解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝. 所以由题意可知·2r·h＝r＝8， ∴r2＝8，∴h＝2. 7.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴. 解　先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下： 二、能力提升 8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　) 答案　B 解析　由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B. 9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为(　　) A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3 答案　C 10.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　) A.4 B.3 C.2 D.0.5 答案　B 解析　如图所示， ∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝， ∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3. 11.在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________. 答案　12 解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12. 12.一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积(如图). 解　母线长l＝＝， 底面半径r＝2·tan30°＝， 所以S＝×2××2＝， 即圆锥的轴截面的面积是. 三、探究与创新 13.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值. 解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长， ∴L＝2πr＝2π. ∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4). ∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在△SAM中， ∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR， ∴SR＝＝(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32. $$