1.1.4 投影与直观图（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案　C 解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°. 2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 答案　B 解析　∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形. 3.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　) 答案　C 解析　根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直. 4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　) A.AB B.AD C.BC D.AC 答案　D 解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长. 5.下列说法正确的个数是(　　) ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点. A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　①②③错误，④正确. 6.如图甲所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的正投影可能是图乙中的________. 图甲 图乙 答案　(1)、(2)、(3) 解析　在面ABCD和面A1B1C1D1上的正投影是图乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的正投影是图乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的正投影是图乙(3). 7.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图. 解　(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示. (2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.[来源:学科网] (3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图. 二、能力提升 8.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组 是(　　) 答案　C 9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________. 答案　2＋ 解析　过A作AE⊥BC，垂足为E，[来源:学科网ZXXK] 又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2， ∴原平面图形的面积为××2＝2＋. 10.在如图的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2. 答案　矩形　8 解析　由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm， ∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8cm2. 11.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图. 解　画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图，如图②. 三、探究与创新 12.用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定). 解　(1)画轴.画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1). (2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F