1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的表面积为(　　) A.3a2＋6ah B.a2＋6h C.4a2＋6ah D.a2＋6ah 答案　A 解析　柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S底＝3a2＋6ah. 2.长方体的体对角线长度是5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　) A.20π B.25π C.50π D.200π 答案　C 解析　∵对角线长为5，∴2R＝5， S＝4πR2＝4π×2＝50π. 3.一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是(　　) A.16cm2 B.10＋4cm2 C.12＋4cm2 D.8＋2cm2 答案　C 解析　此几何体为三棱柱且侧棱与底面垂直，则表面积为(2＋2＋2)×2＋2××2×2＝12＋4(cm2). 4.已知正三棱锥的底面边长为a，高为a，则其侧面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　正三棱锥如图：OD＝××a＝a， ∴PD＝＝a， ∴S侧＝×3a×a＝a2，故选A. 5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A.4π B.3π C.2π D.π 答案　C 解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C. 6.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案　2∶1 解析　S圆柱＝2·π()2＋2π·()·a＝πa2， S圆锥＝π()2＋π··a＝πa2， ∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 7.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？ 解　几何体的表面积为[来源:学科网ZXXK] S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2 ＝24－0.5π＋2π ＝24＋1.5π. 二、能力提升 8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　) A. B.6 C.10 D.8 答案　C 解析　将三视图还原成几何体的直观图如图所示. [来源:Z_xx_k.Com] 它的四个面的面积分别为8,6,10，6，故最大的面积应为10. 9.如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 答案　C 解析　由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为×1×1×8＝4. 10.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________. 答案　100π 解析　设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r. 由母线长为10可知10＝＝5r，∴r＝2. 故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 11.正四棱台的两底面边长分别是6cm和10cm，高为4cm，求它的表面积. 解　如图，设上、下底面中心分别为O1、O，边A1D1、AD的中点分别为E1、E，连接O1O，O1E1，E1E、EO，作O1F∥E1E交OE于点F，则O1E1＝3，OE＝5，OO1＝4，所以OF＝OE－O1E1＝2. 在Rt△OO1F中，O1F＝＝＝2， ∴EE1＝2. ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底 ＝4×(A1D1＋AD)·EE1＋A1D＋AD2 ＝4×(6＋10)×2＋62＋102 ＝(64＋136)(cm2). 三、探究与创新 12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC＝30°) 解　如图所示， 过C作CO1⊥AB于O1. 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R， ∴S球＝4πR2， S圆锥AO1侧＝π×R×R ＝πR2， S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2， ∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧 ＝πR2＋πR2＝πR2. 故旋转所得几何体的表面积为πR2. 13.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱. (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值. 解　(1)圆锥的母线长为＝2cm2， ∴圆锥的侧面积S＝π×2×2＝4πcm2. (2)画出轴截面如图所示： 设圆柱的半径为r. 由题意知：＝， ∴r＝， ∴圆柱的侧面积S＝2πrx＝(－x2＋6x)， ∴当x＝3cm时，S最大＝6πcm2. $$