1.1.7 柱、锥、台和球的体积（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A.48 B.64 C.16 D.96 答案　B 解析　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64. 2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　) A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 答案　C 解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍. 3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　) A.π＋12 B.π＋18 C.9π＋42 D.36π＋18 答案　B 解析　由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V＝32×2＋π3＝18＋π. 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A. B. C.200 D.240 答案　C 解析　先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解.由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200. 5.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　) A.π B. C.4π D.32π 答案　C 解析　由题意可知，6a2＝24，∴a＝2. 设正方体外接球的半径为R，则 a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π. 6.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案　12 解析　设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 由题意，得×6××2××h＝2， ∴h＝1， ∴斜高h′＝＝2， ∴S侧＝6××2×2＝12. 7.一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1＝3. (1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积. 解　(1)直观图如图所示. (2)由题意可知，S△ABC＝×3×＝. S侧＝3AC×AA1＝3×3×3＝27. 故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋. 这个三棱柱的体积为×3＝. 二、能力提升 8.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B. 9.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　) A.72cm3 B.90cm3 C.108cm3 D.138cm3 答案　B 解析　该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示. V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3). 10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 答案　 解析　根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱. 故该几何体的体积 V＝π×22×2＋π×12×4＝(m3). 11.若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积. 解　如图所示， 连接AB1，AC1. ∵B1E＝CF， ∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积. 又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等， ∴VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C. 又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h， VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m， ∴VAA1B1C1＝， ∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1VAA1B1C1＝m， ∴VABEFC＝×m＝， 即四棱锥ABEFC的体积是. 三、探究与创新 12.在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为多少？ 解　设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2. 连接MD. 因为M是AE的中点， 所以VM—ABCD＝V. 所以VE—MBC＝V－VE—MDC. 而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC， 所以＝＝. 因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝. 所以VE—MBC＝VM－EBC＝V. 13.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会