1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征（课后作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版必修2）

基础过关 1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　) A．5 B．10 C．20 D．不确定 解析　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 答案　B 2.如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 解析　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D． 答案　D 3．下列说法正确的是(　　) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 解析　对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D． 答案　D 4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．2 解析　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2.，即两底面之间的距离为2 答案　D 5．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)． 解析　①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成． 答案　①④ 6．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示)． 解析　设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r. ∴4r2＝Q，解得r＝.，∴此圆柱的底面半径为 答案　 7．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径． 解　设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h. 由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.① (2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l.③ 联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14. 8．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 解　作出圆锥的一个纵截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝，＝x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴ ∴x＝. 即此正方体的棱长为. 能力提升 9．大圆半径是小圆的直径，小圆面积与大圆面积之比是(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．3∶5 解析　设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，则小圆面积∶大圆面积＝πr2∶π(2r)2＝1∶4. 答案　C 10．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(填序号)(　　) 解析　易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A、D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 答案　C 11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 解析　由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝.＝＝ 答案　 12．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比． 解　将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2， 则 所以 即h1∶h2＝2∶1. 13．(选做题)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． 解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长， ∴L＝2πr＝2π. ∴∠ASM＝×360°＝90°.×360°＝ (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)． f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)