2019春人教版数学九年级下册 课件+精练）：期末专题训练八：“锐角三角函数”中的数学思想

期末专题训练 八、“锐角三角函数”中的数学思想 * A B 1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36° 2．若锐角α满足cosα＜eq \f(\r(2),2)且tanα＜eq \r(3)，则α的范围是( ) A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 3．如果方程x2－4x＋3＝0的两根分别是Rt△ABC的两条边长，△ABC的最小角为∠A，则tanA＝　 　. 4．因为sin30°＝eq \f(1,2)，sin210°＝－eq \f(1,2)，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为sin60°＝eq \f(\r(3),2)，sin240°＝－eq \f(\r(3),2)，所以sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°＋α)＝－sinα；由此可知sin225°＝　 　. eq \f(1,3)或eq \f(\r(2),4) －eq \f(\r(2),2) 5．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3eq \r(2)千米． 求四边形ABCD的周长和面积(结果保留整数，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)． 解：连接AC，∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝15eq \r(2)千米．又∵∠D＝90°，∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(15\r(2)2－3\r(2)2)＝12eq \r(3)(千米)．∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝15＋15＋3eq \r(2)＋12eq \r(3)≈30＋4.23＋20.76≈55(千米)，面积＝S△ABC＋S△ACD≈157(平方千米)． 6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝15，CD＝13，AD＝8，∠B是锐角，∠B的正弦值为eq \f(4,5)，那么BC的长为多少？ 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF＝8，AE＝DF，∵sinB＝eq \f(4,5)，AB＝15，∴AE＝DF＝12，BE＝9(利用勾股定理)．又∵CD＝13，∴CF＝5(利用勾股定理)．若∠BCD是锐角，则BC＝BE＋EF＋CF＝22；若∠BCD是钝角，则BC＝BE＋EF－CF＝12. 7．已知5cosA＋6cosB＝5,5sinA＝6sinB，且∠A、∠B都是锐角，求eq \f(1,2)∠A＋∠B及sinA、cosB的值． 解：如图所示，作△ABC，使AB＝AC＝5，BC＝6，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝5sin∠CAB＝6sinB，AD＝5cos∠CAB，BD＝6cosB，且5cos∠CAB＋6cosB＝AB＝5.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠BAC＋2∠B＝180°，∴eq \f(1,2)∠BAC＋∠B＝90°.又过点A作AE⊥BC于点E，则BE＝CE＝3，AE＝4，∴sinB＝eq \f(4,5)，cosB＝eq \f(3,5)，∵5sin∠BAC＝6sinB，∴sin∠BAC＝eq \f(24,25). 8．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上． (1)求证：△ABF∽△DFE； (2)若sin∠DFE＝eq \f(1,3)，求tan∠EBC的值． 解：(1)由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB＝∠ABF，∴△ABF∽△DFE； (2)由折叠可得FB＝BC，EF＝EC，∵sin∠DFE＝eq \f(1,3)，∴eq \f(DE,EF)＝eq \f(1,3)，即EF＝3DE.∴AB＝CD＝DE＋EC＝DE＋EF＝4DE，DF＝eq \r(EF2－DE2)＝DE×eq \r(8)＝2eq \r(2)DE.∵△ABF∽△DFE，∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(FB,AB)，即FB＝eq \f(EF·AB,DF)＝eq \f(3DE·4DE,2\r(2)DE)＝3eq \r(2)DE.又∵FB＝BC，EF＝EC，∴tan∠EBC＝eq \f(EC,BC)＝eq \f(3DE,3\r(2)DE)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 9．如图所示，飞机在