辽宁省大连市第一中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（扫描版）

2018—2019学年度上学期期末考试高三年级数学（理）科试卷 参考答案 一．选择题 CACBC DACBD AB 二．填空题 13. 14. 15. 16. 三．解答题 17. 解：（1）设 ， ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ，即 . ……6分 （2）∵ 是 的平分线，∴ , 设 ， ， ， ， ∴在 中， ，① 在 中， ，② 由①+②，得 ，代入②式，可得 ，∴ 或 ， ∴当 时， ，当 时， （舍） 在 中， ， ∴ . ……12分 18.解：（1）四天都不下雨的概率为 ，恰有一天下雨的概率为 ， 因此，在这四天中，至少有两天下雨的概率为 . ……4分 （2）∵ ， ，∴ ， ， ∴ ，当 时， ， ∴预测当降雨量为7毫米时，景点参观的人数约为0.4万人. ……12分 19.解：（1）证明：取 中点 ,连接 ∵ 分别为 的中点， ∴ ∵ ∴ ∴四边形 为平行四边形 ∴ ∵ ∴ 平面 . ……6分 （2）解：假设存在点 满足条件,由题得以 为原点建立空间直角坐标系 令 ,得 令 则 ∴ 又∵平面 的法向量 ∴ 得 ，即 ． 设平面 的法向量为 ， ∵ ， 由 可以取 ， ∵平面 的法向量为 ∴ ，得 ，即 ，又 ∴ ∴存在点 EMBED Equation.3 满足条件，此时 ． ……12分 20.（1）由椭圆 和圆 的对称性，不妨设点 的坐标为 ， 则直线 的方程为 ，即 ， ∵圆 是△ 的内切圆， ∴ ，∴ ∵椭圆的离心率 ，∴ ，∴ 将点 的坐标 代入椭圆 ，得 ， 再将 代入，可得 ，∴ ， ， ∴椭圆的标准方程为 . ……4分 （2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 设 ， ∴△ 面积 令 ， ， ∵函数 在 上单调递增， ∴当 ，即 时，△ 面积的面积 取得最大值 ， 此时直线 的方程为 . ……12分 21.（1）当 时， ， ， ， 在定义域 上，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，∴ ， ∴函数 在定义域 单调递增，无单调递减区间. ……4分 （2）∵ ， （ ）， ①当 时， ， 在 上单调递增， ∴ ，∴函数 在 上单调递增， ∴ 恒成立，满足条件. ②当 时， ，此时 ，∴在区间 上， ， 单调递减， ， ∴ 单调递减， ，不满足条件； ③当 时，在区间 上， ， 单调递减， ， ∴ 单调递减， ，不满足条件. 综上所述，实数 的取值范围是 . ……12分 22.（1）圆 的普通方程为 ，即 ， ∵ ， ， ∴圆 的极坐标方程为 ，即 . ……5分 （2）将 代入直线 的极坐标方程，得 点的极坐标为 ，即 ， 将 代入圆 的极坐标方程，得 点的极坐标为 ，即 ， ∴ . ……10分 23.（1）∵ ，∴ ，∴函数 ， ∴当 时，函数 的最小值为 ，∴ . ……5分 （2）当 时， ， ∵ ，∴ ∵ ， ∴ 的取值范围是 . ……10分 高三年级数学（理）科试卷参考答案 第 1 页 共 5 页 $$ $$