高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（1）

高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（1） (满分100分) 1． 填空题（共6小题，每题7分，满分42分。） 1.2019可表示为三个互为质数的平方和方式，请写出其中的一种结果 . 2. 记=，则= . 3. 方程的全部相异实根是 . 4. 如果将n个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同：若将（n+1）个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n的最大值等于 ，最小值等于 . 5. 点为△ABC的内心，连交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接，若,则的长为 . 5题图 6题图 6. 正方形ABCD中，点E为CD延长线上的一点，连接BE，过点E作，且使，连接，再连接交延长线于点，交延长线于点，若，，则 . 2． 解答题（共3小题，满分58分.） 7. （满分18分）已知抛物线经过点（1，2）. （1） 若，抛物线顶点A，它与轴交于两点、，且△为等边三角形，求的值； （2） 若，且，求的最小值. 8（满分20分）求所有三元整数组，使. 9（满分20分）如图，已知⊙是锐角△的外接圆，，分别为，边上的高，自垂足，分别作，的垂线，垂足为，，设与相交于. （1） 证明：，，三点共线. （2） 若，求∠. 参考答案 一.填空题（共6小题，每题7分，满分42分。） 1.2019可表示为三个互为质数的平方和方式，请写出其中的一种结果 . 答案不唯一. 2.记=，则= . 解： 由此可知：∴ ∴ 3.方程的全部相异实根是 . 设，， 则原方程转化为 即 ①若， ， ， ， ②若， ， ， 4.如果将n个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同：若将（n+1）个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n的最大值等于 ，最小值等于 . ①0对于值为最大的情况， 从已知值最小为出发点，在增加一个盒子之后若出现使得各个盒子中的棋子数不相同，则应该有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，而1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，如果，就能够找到11个不重复且不为0的方法了，所以最大值是64个 ②对于值最小的情况， 必有一盒子中放有1棋子，而其它的也都各不相同，为使总棋子数最小则其它应依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共有55颗，若再添一颗棋子则找不到各个不同的方法， 所以n值最小为55. 故答案为：64、55. 5.点为△ABC的内心，连交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接，若,则的长为 4 . 解：I是△ABC的内心，∴ ∵ ∴ ∴DI=DC=DM ∵ ∴CM==8 ∵AI=2CD=10 ∴AI=IM, ∵AE=EC ∴IE=4 5题图 6题图 6.正方形ABCD中，点E为CD延长线上的一点，连接BE，过点E作，且使，连接，再连接交延长线于点，交延长线于点，若，，则 . 3． 二解答题（共3小题，满分58分.） 7.（满分18分）已知抛物线经过点（1，2）. （3） 若，抛物线顶点A，它与轴交于两点、，且△为等边三角形，求的值； （4） 若，且，求的最小值. 解： (1)由题意，a+b+c=2,a=1,b+c=1,抛物线顶点为A,c--) 设B(),C()∵+=-b, =c,∆>0∴=∵∆ABC为等边三角形即=∵>0, =,c=1-b,b=-22 (2) ∵a,若a则b<0.c<0,a+B+c<0,与a+b+c=2矛盾。∴a>0,b+c=2-a,bc=,∴b,c是一元二次方程的两实根 ∴∆=∴即a,∵abc>0 ①若a,b,c全大于0，∵a≥4,与a+B+c=2矛盾； ②若a,b,c为一正二负，则a>0,B<0,C<0,则 ,a故2a-2,当a=4,b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立，故最小值为6 8（满分20分）求所有三元整数组，使. 设是方程的一组正整数解，则有 ① 记，由，