沪教版（五四制）九年级数学上册 第二十六章 二次函数讲义（无答案） (共2份打包)

（1） 二次函数的定义： 一般地，形如 （a，b，c 为常数，a ≠0）的函数称为 x 的二次函数 其中 x 为自变量，y 为因变量， a、b、c 分别为二次函数的二次项 、一次项和常数项系数． 注意：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数. （2） 二次函数的图象（抛物线） 1、五点法画图象： 利用配方法将二次函数 化为 的形式，一般我们选取的五点为：点（h，k）、（x1，k）、（x2，k）、（0，c）、（2h，c）(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点) 2、图象与系数的关系： ① a决定抛物线的开口方向 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下. ② b和a共同决定抛物线对称轴的位置 化为 抛物线的对称轴： 当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧； ③ a、b和c的大小决定抛物线的顶点坐标： ④ c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）） 当c＝0时，抛物线与y轴的交点为原点； 当c＞0时，交点在y轴的正半轴； 当c＜0时，交点在y轴的负半轴. （3） 二次函数的解析式： 1、一般式： 如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），那么方程组 就可以唯确定a、b、c，从而求得函数解析式 2、顶点式： 由于 ，所以当已知二次函数图象的顶点坐标 时，就可以设二次函数形如 ，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式，这里直线 又称为二次函数图像的对称轴. 3、交点式： 我们知道， ，这里x1，x2分别是方程. 的两根．当已知二次函数的图像与x轴有交点（或者说方程 有实根）时，就可以令函数解析式为 ，从而求得此函数的解析式． 二次函数的概念 【例题1】 【基础、提高】判断下列函数是否是二次函数 （1） （2） （3） （4） 【提高、尖子】如图,矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E是AB上一点，F是BC上一点，且BF＝2BE. 若设BE＝x，△DEF的面积为S. 求S关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 【例题2】 【基础、提高】下列函数不属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【尖子】若函数 是二次函数，则m的值是（ ） A. 2 B.－1或3 C. 3 D. 【例题3】 【基础、提高】三角形的两条边长的和是9厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x（厘米），三角形的面积为y（平方厘米），试写出y关于x的函数解析式及定义域. 【尖子】已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米. （1）求S关于C的函数关系式；（2）当S＝1平方厘米时，求正方形的边长. 二次函数的图象 二次函数y=ax2的图象 【例题4】 【基础、提高】抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点（1，b） （1）求a和b的值. （2）求抛物线y＝ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数y＝ax2的y值随x的增大而增大？ 【尖子】如图，有一座抛物线的拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度10米. （1）在如图所示的坐标中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能到拱桥顶？ 【例题5】 【基础、提高】在同一坐标系中，作 的图象，它们的共同特点是（ ） A.抛物线的开口方向向上 B.抛物线的开口方向向下 C.都是关于x轴对称的抛物线 D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 【尖子】函数y＝－ax2与y＝ax＋b的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【例题6】 【基础、提高】抛物线的顶点为原点，以y轴为对称轴，且经过点A（－2，8）. （1）求这个函数的解析式 （2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积. 【尖子】如图，若一抛物线y＝ax2与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，求a的取值范围. 二次函数y=ax2＋c的图象 【例题7】 【基础、提高】抛物线y=ax2＋c顶点的坐标是（0，2），且形