专题 第二十六章 二次函数章末重点题型复习（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第二十六章 二次函数章末重点题型复习 题型一 列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题； （3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E， ，，， ， ； （2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合）， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， ，， ，， ， ，即， 整理得：， ，， ， ； （3）解：如图1，当时，过点F作于H， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ， ． 如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 题型二、二次函数的识别 4．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．是一次函数，故不符合题意； B．是反比例函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 题型三、y=ax2+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是直线y轴， ∴在对称轴左侧部分是上升的． 故答案为：上升． 8．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 【答案】向下 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据抛物线过原点，把原点坐标代入解析式中可求得m的值，根据二次项系数的符号可确定抛物线的开口方向． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线为； ∵， ∴抛物线开口向下； 故答案为：向下． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 题型四、y=a（x-h)2的图象和性质 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，从而得到当时，随的增大而减小，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点、都在二次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 题型五、y=a（x-h)2+k的图象和性质 13．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，， ∴距离对称轴越远的点，函数值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出一个二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵在对称轴右侧的部分是上升的 ∴抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线可为：； 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数的图象的开口向上，抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答． 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 题型六、把y=ax²+bx+c化成顶点式 16．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标，根据公式计算即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数 (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)15 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）配方法配方即可，配方后即可求得对称轴与顶点坐标； （2）设对称轴交x轴于点E；令，可求得点A的坐标；令，可求得点C的坐标；由即可求解． 【详解】（1）解：配方得：， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：设对称轴交x轴于点E； 令，即， 解得：， 点A的坐标为，即， 令，得， ∴，即； ∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴ ． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线． (1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）设平移后的抛物线解析式为，代入点，求得的值即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； （2）设平移后的抛物线解析式为， ∵新的抛物线经过点， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标是． 题型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 19．（23-24九年级上·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得抛物线的顶点坐标和与轴的交点，然后根据题意求得顶点关于轴的对称点，进一步求得过对称点和与轴的交点的直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点为， 顶点关于轴的对称点为， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则 抛物线与轴的“亲密点”的坐标是， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为；顶点坐标为； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可得． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， ， 抛物线表达式为； ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 与该抛物线的对称轴交于点，抛物线的对称轴为直线， 当时，． ． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）把两点坐标代入二次函数得关于的二元一次方程组，解方程组求出即可； （2）先令，从而求出，再把代入二次函数得点坐标，可知轴，最后根据的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图像经过点，可知， 再由图像经过点，可得，解得， 所以，该二次函数的表达式为； （2）把代入，得， 由、可知轴， 于是，边上的高为3， ∴． 题型八、二次函数图象与各项系数符号 22．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 23．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 24．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 【答案】，答案不唯一 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，由此可以确定函数解析式不唯一． 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴符合条件的函数有，答案不唯一． 答案为：，答案不唯一． 题型九、根据二次函数的图象判断式子符号 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】由抛物线图象可知，．再根据对称轴公式可得出，从而得出，可判断①；根据时，由对称性知时，，得，可判断②；根据对称轴为直线，得，，可判断③；根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得，可判断④． 【详解】解：∵图象可知该抛物线开口向上，与y轴的交点位于x轴下方， ∴，． 又∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵与关于对称，时， ∴时，， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 故④正确． ∴有①③④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数（）的图象与系数的关系．熟练掌握抛物线开口方向与a的关系；抛物线的对称轴直线的位置特点；抛物线与y轴的交点坐标为特点，抛物线的对称性，和x轴交点个数与判别式的关系，x为某一特定值时的函数值，是解题的关键． 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 27．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由，可得（为任意实数），可判断④的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 题型十、已知抛物线上对称的两点求对称轴 28．（23-24九年级上·上海宝山·期末）二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图像的对称轴． 【详解】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴是直线，即， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 30．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 题型十一、两个二次函数图象综合判断 31．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解即可，解题的关键是正确理解二次函数的图象及性质． 【详解】∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴抛物线一定经过另一点的坐标是， 故答案为：． 32．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与部分对应值如下表： … 1 3 5 … … 7 0 －5 7 … 那么时，对应的函数值 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数的对称性先求出对称轴，然后可得答案． 【详解】解：∵和时对应的函数值都是7， ∴该二次函数的对称轴为， ∴和对应的函数值相等，都是0， 故答案为：0． 33．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 34．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 二次函数图像的最高点的横坐标是， 故答案为：． 35．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再把与的值代入得到关于的方程，求解即可； （2）由（1）知：，当时，代入即可； （3）根据题意可得的最大值是3，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，设的长为，的长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴当， ∴； （3）解：∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点， ∴的最大值是3， 由（1）知：， 当时，即，有最大值， 当时，的最大值是， ∴， ∴． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求函数关系式，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值． 36．（24-25九年级上·上海·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次函数的性质．用或表示出三角形的面积是解题的关键． 由题意得，，即，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 题型十三、待定系数法求二次函数解析式 37．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可； （2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， 图 ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 图 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）解：如图2，         图2 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则， 设， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 38．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2)是正方形，理由见解析； (3)、、、． 【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解； （2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 则点M的坐标为：， 当时，，即点， 则， 解得：（舍去）或， 则平移后的抛物线表达式为：； （2）解：四边形是正方形， 根据题意可得，，，， 记与交于点G，则， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：设，，， 可得，，， ①，，即， 解得，（舍去0）， ； ②，， 解得，， 或； ③，， 解得， ； 综上，点A的坐标是、、、． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键． 39．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 题型十四、二次函数图象的平移 40．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 41．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 42．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，求得，由此得到答案． （2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为，根据已知条件，令，求出，得到答案． ②先利用已知条件，求出点，点，由此得到轴，过点，作轴于点，得到，又，设，，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 点，点在抛物线上， ， 解得：， 该抛物线的表达式为：． （2）①根据题意得： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的表达式为： ， 令， 解得：， ， ， 解得：； ②由①抛物线的表达式为： ， 其对称轴为， 则点， 当时，， 即点， 点、的纵坐标相同， 轴， 过点，作轴于点， 由的坐标，得到， 则， ， 设，， 在中， ， 解得：， 则点坐标为：． 题型十五、求抛物线与x轴的交点坐标 43．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 【答案】(1)，， (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解； （2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解； （3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 ∴当时，， 解得： ∴，， 当时，， ∴ （2）∵， ∴ 过点 作 轴于点 ，即 ． ， ． ， ． ， ， 设 ，，则 ．即 ． 把点 坐标代入二次函数解析式，得 解得：或（舍去） ． ，， ． ，， ． 在 中， ． （3）解：∵在抛物线的对称轴上，，， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∵，而， ∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或， 如图所示， 当， ∴ ∴ ∵在抛物线的对称轴上，，则 ∴ ∴，即 当时， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 44．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）将 代入求出b，进而求出抛物线的表达式，再化成顶点式可得D的坐标． （2）令，可求得B的坐标，令，求得C的坐标，再分别求出、、的长，由勾股定理逆定理可得，进而求出的值． 【详解】（1）解：将 代入中， ， 抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点D坐标为； （2）如图    令，即 ，或 令， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图像的平移，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的平移规律是解题关键． （1）根据题意可设顶点式，再将代入求解即可； （2）设该二次函数图像向右平移个单位，则可得出平移后的解析式为．再将代入，求出t的值，最后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数图像的顶点为， ∴可设该二次函数解析式为． ∵该二次函数图像过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为； （2）解：设该二次函数图像向右平移个单位， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后所得图像经过点， ∴， 解得：，． 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为； 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为． 综上可知该二次函数图像向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 题型十六、求抛物线与y轴的交点坐标 46．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【答案】(1) (2)①两点坐标分别为，；②或． 【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案； ②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 47．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线与轴交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴交点坐标是， 故答案为：． 48．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 十七、图形问题（实际问题与二次函数） 49．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可得出关于的函数解析式． 【详解】解：根据题意得：关于的函数解析式是， 即． 故答案为：． 50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． (1)如图1，当经过的重心时，求证：； (2)如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为或 【分析】（1）根据重心定义可得到是中线，P是的中点，再根据等腰三角形的判定与性质得到，结合已知即可得出结论； （2）过点C作，垂足为点E，根据相似三角形的性质和勾股定理得出的长，再表示出，利用相似三角形性质求和勾股定理得出，利用表示出即可得出结果； （3）分情况①若，则，即；②若，则，即，求出结果即可． 【详解】（1）证明：经过的重心， 是中线，P是的中点， ， ， ， 又， ； （2）如图，过点C作，垂足为点E, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①若，则，即， 解得，（舍），， 将入，得， ②若，则，即， 解得，， 将入，得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的几何应用，二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 51．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 题型十八、抛物线与x轴的交点问题 52．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点． 【详解】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 53．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件构建方程． 求出四个交点坐标，在构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 令，则和， ∴或或或， ∵这两个函数的图象与x轴都有两个交点， ∴， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若 ， 则， ∴或（舍去） 若 ， 则， ∴或（舍去） ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离， 故答案为：2． 54．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴有两个公共点、，顶点为，且为等边三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，抛物线与轴的交点问题，熟悉解题方法和思路是解题关键； 根据勾股定理求得点的纵坐标，代入抛物线结合判别式即可求解． 【详解】解：抛物线与轴有两个公共点， 即， 解得：，， 、距离为： 该抛物线的对称轴为：， ，两点关于对称， 为等边三角形，则 点的纵坐标为：， 将，代入， 解得：， 抛物线与轴有两个公共点， ， 即， 故， 故答案为：． 题型十九、面积问题（二次函数综 台） 55．（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 56．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 过点， ； （2）解：∵点B是抛物线的顶点， ， 由（1）可知：，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ， ， 的面积为． 题型二十、角度问题（二次函数综合） 58．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可． ②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 59．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2）∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 60．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 题型二一、特殊三角形问题（二次函数综合） 61．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． ②存在 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ，   ，   ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； 第二种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 62．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数解析解即可，根据抛物线解析式再求对称轴即可． （2）①作于C，证明，由相似三角形的性质可得出， 可得出， 进而可求出点C的坐标， 则可得出点P的坐标． ②延长交轴于点，可得，设，解方程得出，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 63．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与x轴的交点，二次函数与特殊三角形问题． （1）根据题意设二次函数的解析式为，由二次函数的图像经过原点，将点代入函数求出a的值即可； （2）求出二次函数与x轴的交点，得到点A的坐标为，求出，利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图像的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过原点， ∴把，代入得.. 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的图像与x轴交于点A， ∴把，代入， 解得，（舍去）， 得点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 题型二二、相似三角形问题（二次函数综合） 64．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 65．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，，， (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）证明，则直线的表达式为，即可求解； （）当与相似时，证明，得到，则  ，即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）由题意得: ，解得： ， 当时，，则， （2）由（）得： ∴抛物线解析式为，    由点、的坐标知，轴， 由点、的坐标知，， 则直线的表达式为： ， 联立得：，解得：（舍去）或， ∴时，， 则点； （3）由点、的坐标得直线的表达式为：， 故设点， 由点、、、的坐标得，，，， 当与 相似时， ∵，， 则 ， ∴， 则 ， 即， 即， 解得：， 则点， 则抛物线的表达式为：． 66．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 题型二三、其他问题（二次函数综 台） 67．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标； （2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案； （3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 68．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值； ②如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）先由一次函数求出，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答． （2）①依题意，得，，根据角的等量代换，即，先求出点B的坐标．的正切值等于； ②先表达出，，，，再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线经过点与点 则当； ∴ ∴ 解得 ； （2）解：①如图： ∵，且两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 则 ∵ ∴轴 则 ∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ∴ 则 ∵轴交于两点（点在点的左侧）， ∴ ∴， ∴ ∵ 则的正切值等于； ②设，的解析式为 ∴把代入 得 解得 ∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点 ∴设的解析式为 把代入 得 ∴ 令， 即 当 解得 则把代入 得 ∴ ∵过点作轴，过点作轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ 解得 ∵点在线段下方的抛物线上， ∴（舍去） ∴． 把代入 ∴ ∴点的坐标 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 69．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义“简朴点”，结合新定义“简朴点”确定的值是解题关键．首先根据“简朴点”的定义可知当时，可有，进而解得的值，即可确定该抛物线解析式，再确定点坐标，然后确定的坐标即可． 【详解】解：根据题意，抛物线上一点的简朴点是， 即当时，可有， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，可得， ∴， ∴该抛物线上点的简朴点的坐标为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 二次函数章末重点题型复习 题型一 列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 题型二、二次函数的识别 4．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三、y=ax2+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”） 8．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 题型四、y=a（x-h)2的图象和性质 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： （填“”“”或“”）． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 题型五、y=a（x-h)2+k的图象和性质 13．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 14．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 15．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 题型六、把y=ax²+bx+c化成顶点式 16．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 17．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数 (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线． (1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 题型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 19．（23-24九年级上·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是 ． 20．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 题型八、二次函数图象与各项系数符号 22．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 题型九、根据二次函数的图象判断式子符号 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 27．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型十、已知抛物线上对称的两点求对称轴 28．（23-24九年级上·上海宝山·期末）二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 29．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 30．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 题型十一、两个二次函数图象综合判断 31．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 32．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与部分对应值如下表： … 1 3 5 … … 7 0 －5 7 … 那么时，对应的函数值 ． 33．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 34．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 35．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 36．（24-25九年级上·上海·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为 ． 题型十三、待定系数法求二次函数解析式 37．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 38．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 39．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 题型十四、二次函数图象的平移 40．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 41．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 42．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 题型十五、求抛物线与x轴的交点坐标 43．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 44．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 45．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 题型十六、求抛物线与y轴的交点坐标 46．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 47．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线与轴交点坐标是 ． 48．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 十七、图形问题（实际问题与二次函数） 49．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． (1)如图1，当经过的重心时，求证：； (2)如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 51．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 题型十八、抛物线与x轴的交点问题 52．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 53．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 54．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴有两个公共点、，顶点为，且为等边三角形，则 ． 题型十九、面积问题（二次函数综 台） 55．（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 56．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 题型二十、角度问题（二次函数综合） 58．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 59．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 60．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 题型二一、特殊三角形问题（二次函数综合） 61．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 63．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 题型二二、相似三角形问题（二次函数综合） 64．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 65．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 66．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 题型二三、其他问题（二次函数综 台） 67．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 68．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值； ②如果，求点的坐标． 69．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$