广东省广州市第六中学高中数学必修5 线性规划问题拓展

源于课本的线性规划问题拓展 广州市第六中学 一、提出问题 原题：若 满足约束条件 求 的最大值。（必修五104页习题5） 拓展：若 满足约束条件 且 的最大值是13，求 的值。 （为什么要将课本的习题拓展呢？原因在于学生能够按照1画2移3求4答的步骤解决可行域确定求目标函数最值的问题，而对于可行域不定（含参）的问题往往无法下手，有恐慌心理，希望通过拓展问题找到这一类问题的共同点，达到通一类题的效果，让数学教学跳出题海，做到事半功倍。） 二、解决问题 解析：（一般的线性规划问题是给定可行域，求目标函数的最值问题；而本题恰好相反，给定目标函数的最值，确定可行域中的参量）接下来我给出两种不同的方法解决这个问题： 方法1：（如图1）利用TI-Nspire CAS图形计算器作出由不等式组 确定的可行域， 随着 的变化而变化，由于直线 表示的是一条恒过定点 的旋转直线，利用TI-Nspire CAS图形计算器呈现当动直线 经过点 时的截距最大，即 最大，联立直线 和 解得交点 的坐标为 ，从而 ，得到 （如图2）。 图1 图2 方法2：如图3作出由不等式组 确定的可行域，取 作出直线： ，观察TI-Nspire CAS图形计算器中的图形可以发现：当且仅当直线 经过点 （直线 和 的交点）时， 有最大值13，满足题意，此时 的值为1； INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Tencent\\Users\\879346136\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\Y5WH26V~N08_IP0O~B7P9%D.png" \* MERGEFORMAT 图3 图4 三、蕴含思想 在解决问题时，我们要利用TI-Nspire CAS图形计算器作出图形，然后利用目标函数最优化的条件求出相应的最优解，该过程往往蕴含数形结合思想和最优化思想，借助图形计算器能够让学生更直观地去领会数形结合思想的奥秘。 四、总结与反思 不同的学生在解决此类问题时往往会遇到不同的问题：A类学生不会画可行域（因为第三个不等式中含有参数k）；B类学生知道最