2024届四川省高三数学一轮复习讲义 二元一次不等式（组）与线性规划

课题：二元一次不等式（组）与线性规划 知识点一、二元一次不等式组表示平面区域 1.二元一次不等式所表示的平面区域： 在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类： （1）直线上的点（x，y）的坐标满足：； （2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：； （3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：. 2.即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 3.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. （1）判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法： 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧. （2）画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）； ②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【典型例题】 【例1】不等式所表示的平面区域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B试题分析：不等式所表示的平面区域是直线下方部分，选B. 【例2】不等式组，表示的平面区域为（ ） 【答案】B试题分析：因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式表示的平面区域为直线的左下方部分，不等式所表示的平面区域为直线的左上方部分，所以不等式组所表示的平面区域为选项B所表示的区域，故选B. 【例3】3．不等式组表示的平面区域的形状为（ ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】A试题分析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分． 则平面区域是△ABC 【举一反三】 1.不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D解：可判原点适合不等式3x+2y﹣6≤0， 故不等式3x+2y﹣6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y﹣6=0的左下方， 2.不等式组表示的平面区域（阴影部分）是（ ） 【答案】B.试题分析：由题意得，不等式组表示的区域应为直线的下方以及直线的上方及其边界所围成的区域， 3.不等式组 表示的平面区域是( ) A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形 【答案】D 【解析】 试题分析：原不等式组化为：或， 画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形 知识点二、求目标函数的最值 名称 意义[来源:学。科。网] 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 确定线性最优解的思维过程： 线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断. 【典型例题】 【例1】若变量满足约束条件,则目标函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 试题分析:画出不等式组表示的区域如图，结合图象可知当动直线，经过点时，目标函数取得最大值为.故应选B. 【例2】已知变量满足，则的取值范围是（ ） A． B． C. D． 试题分