[]天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（理）试题（PDF版）

$$天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试 高三数学(理)试题参考答案与评分标准 一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C B A D D 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分) 9． 10．240 11． 12． 13． 14． 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分） 15．解：（Ⅰ）因为 , 由正弦定理，得，………………2分 由余弦定理， ………………4分 又因为，所以. …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 所以，……………6分 所以 ………8分 ……………………………………………10分 因为，所以 ………………………………11分 故 ……………………………………………12分 所以的取值范围为……………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为（人），1分 从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名的取法共有（种），……2分 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），……………4分 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3人、2人， 所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2………………7分 所以，，…10分 所以的分布列为 0 1 2 …………………………………………………12分 所求的期望. ……………………………13分 17．解：（Ⅰ）连接，交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以∥. ……………………………………………2分 又平面，平面， 所以∥平面. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面，∥， 所以平面，又 故以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向 建立空间直角坐标系（如右图所示），………………5分 则， 所以. 设平面的法向量为， 则有即………………7分 令，则得. 又平面的法向量为，且二面角为锐角， 故二面角的余弦值为…9分 （Ⅲ）设因为，所以， . …………………………………………10分 又,,平面， 所以 解得.…………………12分 所以，且点在线段的三等分点处，即. …………13分 18．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 依题意有，即，…………………2分 解得或（舍）…………………………………4分 ∴， ∴数列的通项公式为，数列的通项公式为………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴①…………………………………7分 ∴=，②…………………………………8分 ①-②得 ……………………………9分 …………………………………………10分 ……………………………………………………………12分 ∴……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由已知，得. ……………………………………………1分 因为， 易解得. ……………………………………………………………3分 所以，所求椭圆的标准方程为 …………………………………4分 设点的坐标为 当时，与轴垂直为的中点平分显然成立……5分 当由已知可得： 则直线的方程为：…………………7分 设 消去得： 中点的坐标为…………………………9分 又在直线上. 综上平分线段 …………………………………………10分 当时，则 …………11分 当时，由可知 ………………12分 (当且仅当，即时等号成立)……………………13分 ∴点的坐标为 …………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）当时， (其中)， 所以， ，. ………………………………………1分 所以，曲线在点处的切线方程为， 即. ………………………………………………………2分 （Ⅱ）由，得 (). …………………………………………………3分 依题意，知 对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立. ……………………5分 令（）， 所以.（） ………………………………6分 1 当时，，此时函数在上单调递增， 所以， 所以，时，符合题意. …………………………7分 2 当时，令，得 (舍去). 所以，当时，，此时函数在