专题10 数列求和及其应用（教学案）-2019年高考文数二轮复习精品资料

高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．明年高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注． 1．数列求和的方法技巧 (1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． (5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．学=科网 2．数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合． (2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合． (3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题． 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决. 【误区警示】 1．应用错位相减法求和时，注意项的对应． 2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和． 高频考点一　由递推关系求通项 例1、（2018年全国III卷）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【变式探究】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 【方法规律】求数列通项的常用方法 1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． 2．已知Sn与an的关系，利用an＝ n≥2求an. 3．累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)． 4．累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．[来源:Zxxk.Com] 5．构造法：(1)递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋是以p为公比的等比数列求解．(p≠1)的形式，利用＝p (2)递推关系形如an＋1＝的形式．＝－(p为非零常数)可化为 【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，an＝2Sn－1＋3n(n≥2)，则该数列的通项公式为an＝________. 高频考点二　分组转化法求和 例2、Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求数列{bn}的前1 000项和． 【方法规律】 1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 【变式探究】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 高频考点三　错位相减法求和 例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 . (I)求数列{an}通项公式； (II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知 ,求数列 的前n项和 . 【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式． (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 【方法技巧】错位相减法的关注点 1．适用题型：等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘({an·bn})型数列求和． 2．具体步骤： (1)求和时先乘以数列{bn}的公比； (2)把两个和的形式错位相减； (3)整理结果形式． 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且有Sn＝1－an(n∈N*)，点(an，bn)在直线y＝nx上． (1)求Tn；