10.3 频率与概率-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.3 频率与概率 (重点和难点 重点：频率与概率的联系与区别，用频率估计概率， 随机模拟， 会用频率估 难点：对频率的稳定性规律的理解。 11111111111111 食必备知识梳理 基础梳理 知识点（①频率的稳定性 1.频率与概率 (1)频率与概率的区别 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样 频率 次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变 修敲黑板的 (2)频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率 偏离概率的幅度会减小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定 于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳 定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).~敲黑板 2.生活中的概率（频率稳定性的应用） (1)天气预报的概率解释 “明天本地降水的概率为70%”是指本地降水的可能性是 70%,而不是本地70%的区域会降水.当然，降水是一个随机事 (随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生) 件，因此降水的概率为70%是指降水的可能性为70%，本地不 定下雨，也不一定不下雨.天气预报是气象专家根据观测到的气象 资料和经验，经过分析推断得到的.如果本地不下雨，并不能说天 气预报是错误的， (2)游戏的公平性 利用概率的意义可以判断游戏规则的公平性.在各类游戏中， 如果每个人获胜的概率都相等，那么游戏就是公平的.这就是说， 第十章 概率 课标要求 计概率. 1111111111111110101111 敲黑板⊙ 频率与概率的区别和联系 1.频率本身是随机的，是一 个变量，在试验前不能确定，做 同样次数的重复试验得到的事 件发生的频率也可能会不同. 2.概率是一个确定的值，是 客观存在的，与每次的试验无关。 3.频率是概率的近似值，随 着试验次数的增加，频率会越来 越接近概率.在实际问题中，通 常事件发生的概率未知时，常用 频率作为它的估计值。 敲黑板⊙ 频率的特点 随机事件在一次试验中是 否发生具有不确定性，但是在相 同条件下的大量重复试验中，它 发生的频率有以下特点： (1)在某次随机试验中，事 件A发生的频率是一个变量， 且事先是无法确定的.但在大量 重复试验后，它又具有稳定性， 即频率在某个“常数”附近摆动， 并且随着试验次数的增加，摆动 的幅度有越来越小的趋势 (2)有时候试验也可能出现 频率偏离“常数”较大的情况，但 235 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, 要保证所设计的游戏规则是公平的，需要保证每人获胜的概率都 相等 (3)彩票中奖的概率解释 彩票开奖时，为了保证公平，每期摇奖摇出任何一个号码的概 率都是相等的，并且这次摇奖摇出的号码与下次摇奖摇出的号码是 互不影响的，以前的抽奖结果对今后的抽奖结果也没有任何影响. 重难拓展 重难点（①随机模拟 1.随机数的概念及其产生方法 用频率估计概率时，需要做大量的重复试验，费时费力，并且 有些试验还无法进行，因而常用随机模拟试验来代替试验.不仅可 以用试验产生整数随机数，还可以用计算器或计算机产生整数随 机数.敲黑板。 (1)随机数的定义 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相 同的小球分别标上1,2,3，…，n,放入一个袋中，把它们充分搅拌， 然后从中摸出1个球，这个球上的数就称为随机数. (2)伪随机数的定义 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数， 具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质.因此，计算 器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随 机数， (3)随机数的产生 ①抽签法 将数字标在号签上，利用抽签法随机抽取数字.但是当需要产 生的随机数数量较多时，抽签法比较烦琐， ②利用计算器或计算机产生随机数. 2.随机模拟方法 利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，用模拟试 验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方 法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.该方法在应用物理、原子 能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中 都得到了广泛的应用.◆划重点。◆提个醒回 例①已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随 机模拟方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计 236 是随着试验次数的增加，频率偏 离“常数”的可能性会减小 (3)个别随机事件在一次试 验中可能出现，也可能不出现， 但在大量试验中，它出现的次数 与总试验次数之比常常是比较 稳定的.这种现象称为频率的稳 定性，是随机事件内在规律的 反映 敲黑板⊙ 在实际生活中，大量问题包 含随机性因素，用人工方式做随 机试验费时费力，有时成本很 高，容易受外部条件的制约，使 用计算机随机模拟是一种有效 的方法.随机模拟是一种应用随 机数进行模拟试验的方法，这种 方法的名称来源于世界著名赌 城—摩纳哥的蒙特卡洛，通过 对研究问题进行随机抽样，然后 对样本值进行统计分析，得到研 究问题的具体参数、统计量等 划重点 随机模拟方法（蒙特卡洛方 法)是为了适应当时原子能事业 的发展而发展起来的.传统的方 法由于不能逼近真实的物理过 程，所以很难得到满意的结果 而随机模拟方法由于能够真实 地模拟物理过程，故得到的结果 与实际情况非常吻合 提个醒 随机模拟的注意点 用整数随机数模拟试验估 计概率时，要先确定随机数的范 围和用哪些数代表不同的试验 结果.我们可以从以下三个方面 考虑： 第十章概率 算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中， (1)当试验的基本事件等可 5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投 能发生时，基本事件总数即产生 篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 随机数的范围，每个随机数字代 表一个基本事件 907966191925271932812 458569 683 (2)研究非等可能事件的概 431257393027556488730113537 989 率时，用按比例分配的方法确定 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( 表示各个结果的数字个数及总 A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 个数 解析由题意知，模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机 (3)当每次试验结果需要n 数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812， 个随机数表示时，要把n个随机 数作为一组来处理，此时一定要 393,共5组随机数， 注意每组中的随机数字能否 51 所以所求概率为20=4=0.25。 相同 答案B 1A11111011011111110110101001110110110110111101010111011110111111111010110011 关键能力提升 119 题型①频率的稳定性的应用问题 方法总结 1.频率和概率的意义及应用问题 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但 例2(2025·湖南石门一中单元检测)下 随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上 列说法中正确的是() 的反映.概率是客观存在的，它与试验次数、哪一个 具体的试验都没有关系.概率是一种可能性，它往 A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 往通过频率估算一个随机事件发生的可能性，可以 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 看作频率理论上的期望值.因此，可以用频率的趋 C.随着试验次数的增加，频率一般会越来 向近似值来表示随机事件发生的概率】 越接近概率 D.概率是随机的，在试验前不能确定 2.用频率估计概率问题 解析任何事件的概率总是在[0,1]之间，“任何 例③（多选）中国篮球职业联赛(CBA) (必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0) 中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中 事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误. 只有通过试验才会得到频率的值，故频率不是客 的得分情况如表所示： 观存在的.一般来说，当试验的次数不同时，频率是不 投篮次数投中两分球的次数 投中三分球的次数 同的，它与试验次数有关，故B错误 100 55 18 当试验次数增多时，频率呈现出一定的规律性， 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为 频率值越来越接近于某个常数，这个常数就是概率， 事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件 故C正确。 虽然在试验前不知道概率的确切值，但概率是一 C,用频率估计概率的方法，得到的下述结论， 个确定的值，它不是随机的.通过多次试验，不难发现 其中正确的是( 它是频率的稳定值，故D错误 A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 答案C C.P(C)=0.27 D.P(B十C)=0.55 237 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 解析由频率估计机率得，P(A)品=0.5，故 A正确；P(B)三8=0,18，故B正确；P(C)= P(A)-P(B)=1-0.55-0.18=0.27,故C正确； P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故D 错误. 答案ABC 方法总结 用频率估计概率的步骤 第一步：进行大量的随机试验，得到频数； 第二步：由频率计算公式∫，(A)=”4求出频率； n 第三步：由频率与概率的关系估计概率。 题型2用随机模拟的方法求概率问题 1.利用替代物模拟概率问题 例④(2025·浙江绍兴一中单元检测)某 班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1~9的 9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一 首古诗，3→奖品（钢笔），4→说俗语，5→表演 小品，6→智力测试，7→奖品（笔记本），8→做 数学题（若a十b-多ab-1,求心2+6），9一讲 笑话.要求每人抽到各个项目的机会均等， (1)试替该晚会设计一个模拟试验，要求 能简便操作； (2)试分析第1个人中奖的概率， 解析(1)可用9张扑克牌分别代表编号1~9所 对应的项目，其中2张分别代表“奖品（钢笔）”“奖品 (笔记本)”，采用随机翻牌决定的方式。 (2)9张牌中只有2张有奖，因此第1个人中奖的 概率为号 2.利用随机数模拟概率问题 例⑤(2025·浙江舟山中学单元检测)种 植某种树苗，成活率是0.9.若要种植该种树苗 238 5棵，请采用随机模拟方法估计恰好4棵成活 的概率 解析利用计算器或计算机产生0到9之间取整 数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代 表成活，这样可以得到成活率是0.9.因为种植5棵， 所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如 下所示： 69801 66097771242296174235 31516 2974724945575586525874130 23224 37445 4434433315 2712021782 58555 610174524144134922017036283005 949765617334783166243034401117 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果 恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的 数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活 的概率近似为30 0.3 方法总结 用随机模拟方法估计概率的步骤 第一步：建立概率模型，明确“测度”； 第二步：利用几何概型求概率的方法建立关系式； 第三步：解关系式，求出结果 题型(3频率与概率的实际应用 1.利用频率与概率估计总体问题 例6(2025·湖北荆州调考)为了了解一 个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库 中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼 的质量（单位：kg),并将所得数据分组，画出如 图所示的频率分布直方图. ↑频率/组距 6- 5.6 3 0.4 01.001.051.101.151.201.251.30质量/kg (1)在下面的表格中填写相应的频率； 分组 频率 [1.00,1.05) [1,05,1.10) [1.10,1.15) [1.15,1.20) [1.20,1.25) [1.25,1.30) (2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率 为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做上记号 后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位 置捕捞出120条鱼（将容量为n的样本放回总体后，要等 这个样本在总体中分布均匀后才能再次抽取，这样才能保证在 下次抽取时，每个个体被抽到的机会均等)，其中带有记号 的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中 鱼的总条数 解析(1)由频率分布直方图可知，频率=组距X 组距，故可得下表： 频率 分组 频率 [1.00,1.05) 0.05 [1,05,1.10) 0.20 [1.10,1.15) 0.28 [1.15,1.20) 0.30 [1.20,1.25) 0.15 [1.25,1.30) 0.02 (2)0.30+0.15十0.02=0.47，故估计数据落在 [1.15,1.30)中的概率为0.47. (3)120X100 6 =2000,即估计该水库中鱼的总条 数为2000. 第十章概率进 方法总结 用样本估计总体中元素个数的思路 为了估计某一个总体中元素的个数N,我们可 以运用以下方法：先从总体中抽出一个容量为1 的样本，并把每一个元素做上标记，然后把这1个 元素放回去.隔一段时间后，我们再从总体中抽出 一个容量为n2的样本，并从中查出做过标记的元 素的个数，假设为.根据上面的数据我们就可以 估计总体中元素的个数N=” m 2.利用频率与概率解答决策问题 例⑦深夜，一辆出租车被牵涉进一起交 通事故中，该市有两家出租车公司一红色出 租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车 和红色出租车的数量分别占整个城市出租车 数量的85%和15%，据现场目击证人说事故现 场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力做 了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警 察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请 问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明 理由. 解析方法一假设该城市有出租车1000辆，那 么由题意可得如下信息： 名称 证人所说的颜色（正确率80%） 颜色 蓝色 红色 合计 真实 蓝色(85%) 680 170 850 颜色 红色(15%) 30 120 150 合计 710 290 1000 从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，它 确实是红色的概率为0≈0,41，而它是蓝色的概率 170 为290≈0.59，在这种情况下，以证人的证词作为推断 的依据对红色出租车显然是不公平的， 方法二由题意可知，证人说出租车是红色的概 率为15%×80%十85%×20%=29%，而其中确定是 红色的概率为15%×80%=12%，因此证人证词正确 12% 的概率为29产0.4红，而证人证词错误的概率为29 239 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA ≈0.59，在这种情况下，以证人的证词作为推断的依 据对红色出租车显然是不公平的. 变式①(2025·湖南雅礼中学期中)甲、 乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红 桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背 面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌 不放回，各抽一张 (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况， (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字 比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙 的大，则甲胜；否则乙胜.你认为此游戏是否公 平？为什么？ 题型④频率与概率的综合应用 1.频率与概率和统计知识的综合问题 例⑧《营造法式》是中国北宋时期官方颁 布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国 古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国 近代建筑之父梁思成对该书进行了注释，著有 《(营造法式)注释》.为了让建筑类学生了解古 建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和 大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及 其注释》.为检测学生的学习效果，要求所有选 修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制 作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课 程的大三与大四学生的人数之比为3：2，现用 分层随机抽样的方法从所有作业中随机抽取 100份（每位学生均上交一份作业），并评出成 绩，得到如下频数分布表 [50, [60, [70, [80, [90, 成绩/分 60) 70) 80) 90) 100 频数（不 20 38 30 分年级) 频数（大 6 15 2 12 三年级) 240 (1)求x,y的值，若以频率作为概率，从选 修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估 计该学生的作业成绩在[60,80)内的概率； (2)估计这100份作业中大三学生作业的 平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表). 解析(1)由题意知4十x十20十38十30=100，解 得x=8. 在这100份作业中，，大三学生的作业共有3十6 +15+y+12=(36+y)份， .大四学生的作业共有(64一y)份， ,选修该门课程的大三与大四学生的人数之比 为3：2， 0}-将释y=2% .大四学生作业共40份，其中成绩在[60,70)， [70,80)内的作业份数分别为2,5， .成绩在[60,80)内的作业共7份， ,∴，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名， 估计其作业成绩在[60,80)内的概率为40 (2)由(1)可知这100份作业中大三学生作业共 60份，设大三学生作业的平均成绩为x, 剥云-品×5+品×65+品×5+得×5+号 ×95=81, .估计这100份作业中大三学生作业的平均成 绩为81分 2.频率与概率和古典概型的综合问题 例⑨为了治理空气污染，某市设9个监测 站用于监测空气质量指数(AQI),其中在轻度 污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2， 4,3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的 平均值为依据播报该市的空气质量。 (1)若某日播报的AQI为119，已知轻度 污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平 均值为115，求重度污染区AQI平均值. (2)如图是2023年6月份30天的AQI的 频率分布直方图，6月份仅有1天AQI在 [140,150)内. 8↑频率/组距 90 6 900 5 900 4 900 05080110140170200230AQI ①某校参照官方公布的AQI,如果周日 AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统 计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参 加户外活动的概率； ②环卫部门从6月份AQI不小于170的 数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这 两天中AQI在[170,200)内的概率， 解析(1)设重度污染区AQI平均值为x,根据题 意得119×9=70×2+115×4+3x,解得x=157.故 核心 考向（①用频率估计概率 例10(2025·全国一卷节选)为研究某疾 病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检 查的人群中随机调查了1000人，得到如下列 联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 记超声波检查结果不正常者患该疾病的 概率为p,求p的估计值， 解析根据表中数据可知，超声波检查结果不正 常的有200人，其中惠该疾病的有180人，则P=80 200 9 101 第十章概率进 88888888888 重度污染区AQI平均值为157. 8 (2)①AQI在[140,170)内的有900×30×30=8 (天)，AQ1在[170,20)内的有g品×30×30=5（天）， Q1在[200,230]内的有，0×30×30=2（天），所以 6月份AQI不小于150的共8+5+2-1=14（天）. 守能参加户外活动的版车为P=1一普是 ②由①知AQI在[170,200)内的有5天，编号设 为a,b,c,d,e,AQI在[200,230)内的有2天，编号设 为m,n,从7天中抽取两天有(a,b),(a,c),(a,d), (a,e),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,e),(b,m), (b,n),(c,d),(c,e),(c,m),(c,n),(d,e),(d,m), (d,n),(e,m),(e,n),(m,n),共21种情况.满足条 件的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种情况，所以满足 10 条件的概率为P 211 养聚焦 1IIIEBE1NBA011011111111111111011011111111111111111110111111111111111011110110111 考查内容 核心素养 试题难度 逻辑推理 考查用频率估计概率问题 ★☆☆☆☆ 数学运算 考向2 统计背景下的频率与概率问题 例11（经典·全国I卷）某厂接受了一项 加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准 分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定：对于 A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加 工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每 件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个 分厂可承接该项加工业务.甲分厂加工成本费 为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂 家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分 厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些 产品的等级，整理如下： 241 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 品 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的 件产品为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以此为依据，厂家应选哪 个分厂承接该项加工业务？ 解析(1)由试加工产品等级的频数分布表可知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的 估计值为品-0,4： 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的 估计值为器=028 (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润 242 的频数分布表为： 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润 为65×40+25×20-5×20-75×20 =15元. 100 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的 频数分布表为： 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润 为70X28+30×17+0X34-70×21 =10元. 100 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选 甲分厂承接该项加工业务. 考查内容 核心素养 试题难度 考查统计与用频率估计概率 逻辑推理 ★★☆☆☆ 的综合问题 数学运算