2.2 基本不等式 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

祁阳市第四中学 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 一、学习目标 1.通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释，达到逻辑 推理和直观想象核心素养水平一的要求。 2.能够运用基本不等式来求代数式的最值，达到数学抽象和逻辑推理水平一的层次， 3能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问 题的能力，达到数学建模核心素养水平一的层次. 二、教学重难点 1教学重点 用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程. 2.教学难点 用基本不等式求最大值和最小值。 三、教学过程 （一)探究一：基本不等式的推导 教师： 一个重要的不等式：Va,b∈R,有a+b≥2b,当且仅当a=b时，等号成立. 特别地，如果>0，b>0,我们用Va,Vb分别代替上式中的a,b,可得 Jabsa+b 2, (1) 当且仅当a=b时，等号成立. a+b 通常称不等式(1)为基本不等式，其中，2叫做正数4，b的算术平均数，Vb 叫做正数a,b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， Vabsa 证明一：要证 2, ① 只要证 2√ab≤a+b.(去分母) ② 要证②，只要证1 2√ab-a-b≤0.（移项） ③ 祁阳市第四中学 要证③，只要证 a-历≤0.（屁方） ④ 要证④，只要证 (a-620.（平方，非负) ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立. 证明二：比较法 .a>0,b>0, a>0,√b>0, :a+b-ab-a+b-2而-a,之0， 2 2 2 (Na-历-0 2 a+b=Jab 由于 充要条件为a=b,因此，当且仅当a=b时，2 探究二：基本不等式的应用 例1 利用基本不等式求最值 例1、①已知a>0,b>0,ab=36,求a+b的最小值。 解：，a+b≥ 常用变形：a+b≥2Vab -≥vab 2 当积ab为定值时，求和a+b的最小值 ·a+b≥2Vab=2V36=12 (当且仅当a=b=6时取等) 故a+b的最小值为12 2 ② 祁阳市第四中学 2)已知a>0,b>0,a+b=18,求ab的最大值。 解：：√ab≤a+ 常用变形： abs(aby 当和a+b为定值时，可以求积ab的最大值 hs(2y=-81 (当且仅当a=b=9时取等) 故ab的最大值为81 例2、()已知x<0,求函数f(x)=x+L的最小值 2、(2知x>3函数=+代当为阿值时，函教 有最值，并求其最值。 例2、 ③若0<t求两数=0-2心的最大位。 跟踪训练 2.函数f()=V2+2+,1一能否用基本不等式求最小值？ Vx2+2 3 例3 ②祁阳市第四中学 (1)已知a>1,求a+。的最小值： 练习：1.设0<x<3,求函数y=4r3-2x)的最大值。 (三)课堂小结 小结： 1、重要不等式与基本不等式的内容： a2+b222ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取等) a+b≥Vaba>0,b>0,当且仅当a=b时取等) 2 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 四、板书设计 2.2基本不等式 1基本不等式 2基本不等式的应用条件 3基本不等式的应用 4