专题15 函数 函数模型和函数的综合应用-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试

2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　 15 函数 函数模型和函数的综合应用 【考点讲解】 1、 具本目标：函数模型及其应用 　　（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 　　（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 考点解析：1.掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数． 二、知识概述： 1.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型： . (2)反比例函数模型： . (3)二次函数模型： . (4)指数函数模型： . (5)对数函数模型： . 2.解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注： ①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型． ②对涉及的相关公式，记忆错误． ③在求解的过程中计算错误． 另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解 3.方法提示：1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示． 2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． 3）y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 4）对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分： 直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长． 5）利用函数模型解决实际问题，通常有以下三种类型：（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建立确定性函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题． 6）使用函数模型解决实际问题[来源:学科网ZXXK] （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。 ② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。[来源:学科网ZXXK] ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积 底 高 梯形面积 EMBED Equation.DSMT4 （上底 下底） 高 三角形面积 EMBED Equation.DSMT4 底 高 ② 商业问题： 总价 单价 数量 利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本 ③ 利息问题： 利息 本金 利率 本息总和 本金 利息 本金 利率 本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。 5.使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 ① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找